Calculate: sin 20 ∗ sin 40 ∗ sin 60 ∗ sin 80 \sin 20 * \sin 40 * \sin 60 * \sin 80 sin 20 ∗ sin 40 ∗ sin 60 ∗ sin 80
Solution:
sin 20 ∗ sin 40 ∗ sin 60 ∗ sin 80 = sin 20 ∗ sin 60 ∗ sin 40 ∗ sin 80 = sin 20 ∗ sin 60 ∗ sin ( 60 − 20 ) ∗ sin ( 60 + 20 ) = sin 20 ∗ sin 60 ∗ ( sin 60 ∗ cos 20 − cos 60 ∗ sin 20 ) ∗ ( sin 60 ∗ cos 20 + cos 60 ∗ sin 20 ) = sin 20 ∗ sin 60 ∗ ( sin 2 60 ∗ cos 2 20 − cos 2 60 ∗ sin 2 20 ) = sin 20 ∗ 3 2 ∗ ( 3 4 cos 2 20 − 1 4 ∗ sin 2 20 ) = 3 8 ∗ sin 20 ∗ ( 3 − 3 ∗ sin 2 20 − sin 2 20 ) = 3 8 ( 3 ∗ sin 20 − 4 ∗ sin 3 20 ) = 3 8 ∗ sin ( 3 ∗ 20 ) = 3 8 ∗ sin 60 = 3 16 \begin{array}{l}
\sin 20 * \sin 40 * \sin 60 * \sin 80 = \sin 20 * \sin 60 * \sin 40 * \sin 80 \\
= \sin 20 * \sin 60 * \sin (60 - 20) * \sin (60 + 20) \\
= \sin 20 * \sin 60 * (\sin 60 * \cos 20 - \cos 60 * \sin 20) \\
* (\sin 60 * \cos 20 + \cos 60 * \sin 20) \\
= \sin 20 * \sin 60 * (\sin^2 60 * \cos^2 20 - \cos^2 60 * \sin^2 20) \\
= \sin 20 * \frac{\sqrt{3}}{2} * \left(\frac{3}{4} \cos^2 20 - \frac{1}{4} * \sin^2 20\right) \\
= \frac{\sqrt{3}}{8} * \sin 20 * (3 - 3 * \sin^2 20 - \sin^2 20) \\
= \frac{\sqrt{3}}{8} (3 * \sin 20 - 4 * \sin^3 20) = \frac{\sqrt{3}}{8} * \sin (3 * 20) = \frac{\sqrt{3}}{8} * \sin 60 \\
= \frac{3}{16}
\end{array} sin 20 ∗ sin 40 ∗ sin 60 ∗ sin 80 = sin 20 ∗ sin 60 ∗ sin 40 ∗ sin 80 = sin 20 ∗ sin 60 ∗ sin ( 60 − 20 ) ∗ sin ( 60 + 20 ) = sin 20 ∗ sin 60 ∗ ( sin 60 ∗ cos 20 − cos 60 ∗ sin 20 ) ∗ ( sin 60 ∗ cos 20 + cos 60 ∗ sin 20 ) = sin 20 ∗ sin 60 ∗ ( sin 2 60 ∗ cos 2 20 − cos 2 60 ∗ sin 2 20 ) = sin 20 ∗ 2 3 ∗ ( 4 3 cos 2 20 − 4 1 ∗ sin 2 20 ) = 8 3 ∗ sin 20 ∗ ( 3 − 3 ∗ sin 2 20 − sin 2 20 ) = 8 3 ( 3 ∗ sin 20 − 4 ∗ sin 3 20 ) = 8 3 ∗ sin ( 3 ∗ 20 ) = 8 3 ∗ sin 60 = 16 3
Answer: 3 16 \frac{3}{16} 16 3
#339914 on Dec 2023
Comments