X 1 ∼ N ( 0 , 1 ) X_1\sim N(0,1) X 1 ∼ N ( 0 , 1 ) and its probability density function is given as,
g ( x 1 ) = 1 2 π e − x 1 2 2 , 0 < x 1 < ∞ g(x_1)={1\over\sqrt{2\pi}}e^{-{x_1^2\over2}},\space 0\lt x_1\lt\infin g ( x 1 ) = 2 π 1 e − 2 x 1 2 , 0 < x 1 < ∞
and,
X 2 ∼ χ 2 ( r ) X_2\sim \chi^2(r) X 2 ∼ χ 2 ( r ) and its probability density function is given as,
h ( x 2 ) = 1 Γ ( r 2 ) 2 r 2 x 2 r 2 − 1 e − x 2 2 , 0 < x 2 < ∞ h(x_2)={1\over\varGamma({r\over2})2^{r\over2}}x_2^{{r\over2}-1}e^{-{x_2\over2}},\space 0\lt x_2\lt\infin h ( x 2 ) = Γ ( 2 r ) 2 2 r 1 x 2 2 r − 1 e − 2 x 2 , 0 < x 2 < ∞
Since the random variables X 1 X_1 X 1 and X 2 X_2 X 2 are independent, their joint probability density function is given as,
f ( x 1 , x 2 ) = g ( x 1 ) × h ( x 2 ) f(x_1,x_2)=g(x_1)\times h(x_2) f ( x 1 , x 2 ) = g ( x 1 ) × h ( x 2 ) . So,
f ( x 1 , x 2 ) = 1 2 π e − x 1 2 2 1 Γ ( r 2 ) 2 r 2 x 2 r 2 − 1 e − x 2 2 , − ∞ < x 1 < ∞ , 0 < x 2 < ∞ 0 , e l s e w h e r e f(x_1,x_2)={1\over\sqrt{2\pi}}e^{-{x_1^2\over2}}{1\over\varGamma({r\over2})2^{r\over2}}x_2^{{r\over2}-1}e^{-{x_2\over2}},\space -\infin\lt x_1\lt \infin,\space 0\lt x_2\lt\infin\\0,\space elsewhere f ( x 1 , x 2 ) = 2 π 1 e − 2 x 1 2 Γ ( 2 r ) 2 2 r 1 x 2 2 r − 1 e − 2 x 2 , − ∞ < x 1 < ∞ , 0 < x 2 < ∞ 0 , e l se w h ere
Define,
Y 1 = X 1 ( X 2 ) r Y_1={X_1\over\sqrt{(X_2)\over r}} Y 1 = r ( X 2 ) X 1 and Y 2 = X 2 Y_2=X_2 Y 2 = X 2 . They are one to one mapping of the set, S = { ( x 1 , x 2 ) : − ∞ < x 1 < ∞ , 0 < x 2 < ∞ } S=\{(x_1,x_2):-\infin\lt x_1\lt\infin, 0\lt x_2\lt\infin\} S = {( x 1 , x 2 ) : − ∞ < x 1 < ∞ , 0 < x 2 < ∞ } onto the set,
R = { ( y 1 , y 2 ) , − ∞ < y 1 < ∞ , 0 < y 2 < ∞ } R=\{(y_1,y_2),-\infin\lt y_1\lt\infin, 0\lt y_2\lt\infin\} R = {( y 1 , y 2 ) , − ∞ < y 1 < ∞ , 0 < y 2 < ∞ }
So,
X 2 = Y 2 X_2=Y_2 X 2 = Y 2 and X 1 = Y 1 Y 2 r = Y 1 ( Y 2 ) 1 2 r X_1=Y_1\sqrt{Y_2\over r}={Y_1(Y_2)^{1\over2}\over \sqrt{r}} X 1 = Y 1 r Y 2 = r Y 1 ( Y 2 ) 2 1
The Jacobian of transformation is,
J = ∣ d x 1 d y 1 d x 1 d y 2 d x 2 d y 1 d x 2 d y 2 ∣ = ∣ y 2 r y 1 2 r × y 2 0 1 ∣ = y 2 r J=\begin{vmatrix}
{d_{x_1}\over d_{y_1}} & {d_{x_1}\over d_{y_2}} \\
{d_{x_2}\over d_{y_1}} & {d_{x_2}\over d_{y_2}}
\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}
{\sqrt{y_2\over r}} & {y_1\over2\sqrt{r\times y_2}} \\
0 & 1
\end{vmatrix}=\sqrt{{y_2\over r}} J = ∣ ∣ d y 1 d x 1 d y 1 d x 2 d y 2 d x 1 d y 2 d x 2 ∣ ∣ = ∣ ∣ r y 2 0 2 r × y 2 y 1 1 ∣ ∣ = r y 2
Then, the joint pdf of Y 1 Y_1 Y 1 and Y 2 Y_2 Y 2 is given by,
g ( y 1 , y 2 ) = g ( y 1 y 2 r , y 2 ) ∣ J ∣ = 1 2 π Γ ( r 2 ) 2 r 2 y 2 r 2 − 1 e − 1 2 y 1 2 y 2 r e − y 2 2 y 2 r = 1 2 π Γ ( r 2 ) 2 r 2 y 2 r 2 − 1 e − y 2 2 ( 1 + y 1 2 r ) y 2 1 2 r , − ∞ < y 1 < ∞ , 0 < y 2 < ∞ g(y_1,y_2)=g(y_1\sqrt{y_2\over r},y_2)|J|\\=
{1\over\sqrt{2\pi}\varGamma({r\over2})2^{r\over2}}y_2^{{r\over2}-1}e^{-{{1\over2}y_1^2}{y_2\over r}}e^{-{y_2\over2}}\sqrt{{y_2\over r}}\\=
{1\over\sqrt{2\pi}\varGamma({r\over2})2^{r\over2}}y_2^{{r\over2}-1}e^{-{y_2\over2}(1+{y_1^2\over r})}{y_2^{1\over2}\over\sqrt{r}},\space -\infin\lt y_1\lt\infin,\space 0\lt y_2\lt\infin g ( y 1 , y 2 ) = g ( y 1 r y 2 , y 2 ) ∣ J ∣ = 2 π Γ ( 2 r ) 2 2 r 1 y 2 2 r − 1 e − 2 1 y 1 2 r y 2 e − 2 y 2 r y 2 = 2 π Γ ( 2 r ) 2 2 r 1 y 2 2 r − 1 e − 2 y 2 ( 1 + r y 1 2 ) r y 2 2 1 , − ∞ < y 1 < ∞ , 0 < y 2 < ∞
The marginal pdf of Y 1 Y_1 Y 1 is given by,
g ( y 1 ) = ∫ 0 ∞ g ( y 1 , y 2 ) d y 2 = ∫ 0 ∞ 1 2 π Γ ( r 2 ) 2 r 2 y 2 1 2 ( r + 1 ) − 1 e − y 2 2 ( 1 + y 1 2 r ) y 2 1 2 r d y 2 g(y_1)=\displaystyle\int^{\infin}_0 g(y_1,y_2)dy_2=\displaystyle\int^{\infin}_0{1\over\sqrt{2\pi}\varGamma({r\over2})2^{r\over2}}y_2^{{{1\over2}(r+1)}-1}e^{-{y_2\over2}(1+{y_1^2\over r})}{y_2^{1\over2}\over\sqrt{r}}dy_2 g ( y 1 ) = ∫ 0 ∞ g ( y 1 , y 2 ) d y 2 = ∫ 0 ∞ 2 π Γ ( 2 r ) 2 2 r 1 y 2 2 1 ( r + 1 ) − 1 e − 2 y 2 ( 1 + r y 1 2 ) r y 2 2 1 d y 2
We make the substitution,
w = y 2 ( 1 + y 1 2 r ) 2 w={y_2(1+{y_1^2\over r})\over2} w = 2 y 2 ( 1 + r y 1 2 ) and d w d y 2 = 1 + y 1 2 r 2 ⟹ d w = 1 + y 1 2 r 2 d y 2 {dw\over dy_2}={1+{y_1^2\over r}\over 2}\implies dw={1+{y_1^2\over r}\over 2}dy_2 d y 2 d w = 2 1 + r y 1 2 ⟹ d w = 2 1 + r y 1 2 d y 2
We can now write the integral as,
∫ 0 ∞ 1 2 π r Γ ( r 2 ) 2 r 2 ( 2 w 1 + y 1 2 r ) 1 2 ( r + 1 ) − 1 e − w ( 2 1 + y 1 2 r ) d w \displaystyle\int_0^{\infin}{1\over\sqrt{2\pi r}\varGamma({r\over2})2^{r\over2}}({2w\over1+{y_1^2\over r}})^{{1\over2}(r+1)-1}e^{-w}({2\over1+{y_1^2\over r}})dw ∫ 0 ∞ 2 π r Γ ( 2 r ) 2 2 r 1 ( 1 + r y 1 2 2 w ) 2 1 ( r + 1 ) − 1 e − w ( 1 + r y 1 2 2 ) d w
Next, we introduce Γ ( r + 1 2 ) \varGamma({r+1\over2}) Γ ( 2 r + 1 )
= 1 2 π r Γ ( r 2 ) 2 r 2 ( 2 1 + y 1 2 r ) 1 2 ( r + 1 ) Γ ( r + 1 2 ) ∫ 0 ∞ w 1 2 ( r + 1 ) − 1 e − w Γ ( r + 1 2 ) d w ={1\over\sqrt{2\pi r}\varGamma({r\over2})2^{r\over2}}({2\over1+{y_1^2\over r}})^{{1\over2}(r+1)}\varGamma({r+1\over2})\displaystyle\int_0^{\infin}{w^{{1\over2}(r+1)-1}e^{-w}\over\varGamma({r+1\over2})}dw = 2 π r Γ ( 2 r ) 2 2 r 1 ( 1 + r y 1 2 2 ) 2 1 ( r + 1 ) Γ ( 2 r + 1 ) ∫ 0 ∞ Γ ( 2 r + 1 ) w 2 1 ( r + 1 ) − 1 e − w d w
The integral part is equal to 1.0 because it is a pdf of the Gamma distribution with parameters α = r + 1 2 \alpha={r+1\over2} α = 2 r + 1 and β = 1 \beta=1 β = 1
So we have,
1 2 π Γ ( r 2 ) 2 r 2 ( 2 1 + y 1 2 r ) 1 2 ( r + 1 ) Γ ( r + 1 2 ) {1\over\sqrt{2\pi}\varGamma({r\over2})2^{r\over2}}({2\over1+{y_1^2\over r}})^{{1\over2}(r+1)}\varGamma({r+1\over2}) 2 π Γ ( 2 r ) 2 2 r 1 ( 1 + r y 1 2 2 ) 2 1 ( r + 1 ) Γ ( 2 r + 1 ) and we can write as,
g ( y 1 ) = ( Γ ( r + 1 2 ) π r Γ ( r 2 ) ) ( 1 ( 1 + y 1 2 r ) r + 1 2 ) , − ∞ < y 1 < ∞ 0 , e l s e w h e r e g(y_1)=({\varGamma({r+1\over2})\over\sqrt{\pi r}\varGamma({r\over2})})({1\over(1+{y_1^2\over r})^{r+1\over 2}}),\space -\infin\lt y_1\lt \infin\\0,\space elsewhere g ( y 1 ) = ( π r Γ ( 2 r ) Γ ( 2 r + 1 ) ) ( ( 1 + r y 1 2 ) 2 r + 1 1 ) , − ∞ < y 1 < ∞ 0 , e l se w h ere
Thus, if X 1 ∼ N ( 0 , 1 ) X_1\sim N(0,1) X 1 ∼ N ( 0 , 1 ) and X 2 ∼ χ 2 ( r ) X_2\sim \chi^2(r) X 2 ∼ χ 2 ( r ) and X 1 X_1 X 1 and X 2 X_2 X 2 are independent then, the random variable Y 1 = X 1 X 2 r Y_1={X_1\over\sqrt{X_2\over r}} Y 1 = r X 2 X 1 has a t distribution with r r r degrees of freedom.
Therefore,
Y 1 ∼ t − d i s t r i b u t i o n ( r ) . Y_1\sim t-distribution(r). Y 1 ∼ t − d i s t r ib u t i o n ( r ) .
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