f ( x , y , z ) = k exp [ − ( 2 x 2 − 2 x y + y 2 + z 2 + 2 x − 6 y ) / 2 ] f (x, y, z) = k \exp [− (2x^2 − 2xy + y^2 + z^2 + 2x − 6y)/2] f ( x , y , z ) = k exp [ − ( 2 x 2 − 2 x y + y 2 + z 2 + 2 x − 6 y ) /2 ]
f ( x , y , z ) = k exp [ − ( ( x − 2 ) 2 − ( y − x − 3 ) 2 + z 2 − 13 ) / 2 ] f (x, y, z) = k \exp [− ((x-2)^2 − (y-x-3)^2 + z^2 -13)/2] f ( x , y , z ) = k exp [ − (( x − 2 ) 2 − ( y − x − 3 ) 2 + z 2 − 13 ) /2 ]
f ( x , y , z ) = k exp [ − ( 2 ( x − ( y − 1 ) / 2 ) 2 + ( y − 5 ) 2 / 2 + z 2 − 13 ) / 2 ] f (x, y, z) = k \exp [− (2(x-(y-1)/2)^2 + (y-5)^2/2 + z^2 -13)/2] f ( x , y , z ) = k exp [ − ( 2 ( x − ( y − 1 ) /2 ) 2 + ( y − 5 ) 2 /2 + z 2 − 13 ) /2 ]
(1) 1 = ∫ − ∞ + ∞ ∫ − ∞ + ∞ ∫ − ∞ + ∞ f ( x , y , z ) d x d y d z 1=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}f(x,y,z)dxdydz 1 = − ∞ ∫ + ∞ − ∞ ∫ + ∞ − ∞ ∫ + ∞ f ( x , y , z ) d x d y d z
= ∫ − ∞ + ∞ ∫ − ∞ + ∞ ∫ − ∞ + ∞ k exp [ − ( ( x − 2 ) 2 − ( y − x − 3 ) 2 + z 2 − 13 ) / 2 ] d x d y d z =\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}k \exp [− ((x-2)^2 − (y-x-3)^2 + z^2 -13)/2]dxdydz = − ∞ ∫ + ∞ − ∞ ∫ + ∞ − ∞ ∫ + ∞ k exp [ − (( x − 2 ) 2 − ( y − x − 3 ) 2 + z 2 − 13 ) /2 ] d x d y d z
= k e − 13 / 2 ∫ − ∞ + ∞ exp ( − z 2 / 2 ) d z ∫ − ∞ + ∞ exp ( − ( x − 2 ) 2 / 2 ) ( ∫ − ∞ + ∞ exp ( − ( y − x − 3 ) 2 / 2 ) d y ) d x =ke^{-13/2}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\exp(- z^2/2)dz\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\exp (− (x-2)^2/2)\left(\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\exp(−(y-x-3)^2 /2)dy\right)dx = k e − 13/2 − ∞ ∫ + ∞ exp ( − z 2 /2 ) d z − ∞ ∫ + ∞ exp ( − ( x − 2 ) 2 /2 ) ( − ∞ ∫ + ∞ exp ( − ( y − x − 3 ) 2 /2 ) d y ) d x
= k ( 2 π ) 3 / 2 e − 13 / 2 =k(2\pi)^{3/2}e^{-13/2} = k ( 2 π ) 3/2 e − 13/2
Therefore, k = ( 2 π ) − 3 / 2 e 13 / 2 k=(2\pi)^{-3/2}e^{13/2} k = ( 2 π ) − 3/2 e 13/2
(2) E ( X ) = ∫ − ∞ + ∞ ∫ − ∞ + ∞ ∫ − ∞ + ∞ x f ( x , y , z ) d x d y d z = E(X)=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}xf(x,y,z)dxdydz= E ( X ) = − ∞ ∫ + ∞ − ∞ ∫ + ∞ − ∞ ∫ + ∞ x f ( x , y , z ) d x d y d z =
= k e − 13 / 2 ∫ − ∞ + ∞ exp ( − z 2 / 2 ) d z ∫ − ∞ + ∞ x exp ( − ( x − 2 ) 2 / 2 ) ( ∫ − ∞ + ∞ exp ( − ( y − x − 3 ) 2 / 2 ) d y ) d x = =ke^{-13/2}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\exp(- z^2/2)dz\int\limits_{-\infty}^{+\infty}x\exp (− (x-2)^2/2)\left(\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\exp(−(y-x-3)^2 /2)dy\right)dx= = k e − 13/2 − ∞ ∫ + ∞ exp ( − z 2 /2 ) d z − ∞ ∫ + ∞ x exp ( − ( x − 2 ) 2 /2 ) ( − ∞ ∫ + ∞ exp ( − ( y − x − 3 ) 2 /2 ) d y ) d x =
= 1 2 π ∫ − ∞ + ∞ x exp ( − ( x − 2 ) 2 / 2 ) d x = 2 =\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}x\exp (− (x-2)^2/2)dx=2 = 2 π 1 − ∞ ∫ + ∞ x exp ( − ( x − 2 ) 2 /2 ) d x = 2
E ( Y ) = ∫ − ∞ + ∞ ∫ − ∞ + ∞ ∫ − ∞ + ∞ y f ( x , y , z ) d x d y d z = E(Y)=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}yf(x,y,z)dxdydz= E ( Y ) = − ∞ ∫ + ∞ − ∞ ∫ + ∞ − ∞ ∫ + ∞ y f ( x , y , z ) d x d y d z =
= k e − 13 / 2 ∫ − ∞ + ∞ exp ( − z 2 / 2 ) d z ∫ − ∞ + ∞ exp ( − ( x − 2 ) 2 / 2 ) ( ∫ − ∞ + ∞ y exp ( − ( y − x − 3 ) 2 / 2 ) d y ) d x = =ke^{-13/2}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\exp(- z^2/2)dz\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\exp (− (x-2)^2/2)\left(\int\limits_{-\infty}^{+\infty}y\exp(−(y-x-3)^2 /2)dy\right)dx= = k e − 13/2 − ∞ ∫ + ∞ exp ( − z 2 /2 ) d z − ∞ ∫ + ∞ exp ( − ( x − 2 ) 2 /2 ) ( − ∞ ∫ + ∞ y exp ( − ( y − x − 3 ) 2 /2 ) d y ) d x =
= 1 2 π ∫ − ∞ + ∞ ( x + 3 ) exp ( − ( x − 2 ) 2 / 2 ) d x = 5 =\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}(x+3)\exp (− (x-2)^2/2)dx=5 = 2 π 1 − ∞ ∫ + ∞ ( x + 3 ) exp ( − ( x − 2 ) 2 /2 ) d x = 5
E ( Z ) = ∫ − ∞ + ∞ ∫ − ∞ + ∞ ∫ − ∞ + ∞ z f ( x , y , z ) d x d y d z = E(Z)=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}zf(x,y,z)dxdydz= E ( Z ) = − ∞ ∫ + ∞ − ∞ ∫ + ∞ − ∞ ∫ + ∞ z f ( x , y , z ) d x d y d z =
= k e − 13 / 2 ∫ − ∞ + ∞ z exp ( − z 2 / 2 ) d z ∫ − ∞ + ∞ exp ( − ( x − 2 ) 2 / 2 ) ( ∫ − ∞ + ∞ exp ( − ( y − x − 3 ) 2 / 2 ) d y ) d x = =ke^{-13/2}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}z\exp(- z^2/2)dz\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\exp (−(x-2)^2/2)\left(\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\exp(−(y-x-3)^2 /2)dy\right)dx= = k e − 13/2 − ∞ ∫ + ∞ z exp ( − z 2 /2 ) d z − ∞ ∫ + ∞ exp ( − ( x − 2 ) 2 /2 ) ( − ∞ ∫ + ∞ exp ( − ( y − x − 3 ) 2 /2 ) d y ) d x =
= 0 =0 = 0
(3)
f X , Z ( x , z ) = ∫ − ∞ + ∞ f ( x , y , z ) d y = ∫ − ∞ + ∞ k exp [ − ( ( x − 2 ) 2 − ( y − x − 3 ) 2 + z 2 − 13 ) / 2 ] d y = f_{X,Z} (x, z)=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}f(x,y,z)dy=\int\limits_{-\infty}^{+\infty} k \exp [− ((x-2)^2 − (y-x-3)^2 + z^2 -13)/2]dy= f X , Z ( x , z ) = − ∞ ∫ + ∞ f ( x , y , z ) d y = − ∞ ∫ + ∞ k exp [ − (( x − 2 ) 2 − ( y − x − 3 ) 2 + z 2 − 13 ) /2 ] d y =
= x + 3 2 π exp [ − ( ( x − 2 ) 2 + z 2 ) / 2 ] =\frac{x+3}{2\pi}\exp [− ((x-2)^2 + z^2 )/2] = 2 π x + 3 exp [ − (( x − 2 ) 2 + z 2 ) /2 ]
V ( X ) = ∫ − ∞ + ∞ ∫ − ∞ + ∞ ∫ − ∞ + ∞ ( x − 2 ) 2 f ( x , y , z ) d x d y d z = V(X)=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}(x-2)^2f(x,y,z)dxdydz= V ( X ) = − ∞ ∫ + ∞ − ∞ ∫ + ∞ − ∞ ∫ + ∞ ( x − 2 ) 2 f ( x , y , z ) d x d y d z =
= k e − 13 / 2 ∫ − ∞ + ∞ e − z 2 / 2 d z ∫ − ∞ + ∞ ( x − 2 ) 2 e − ( x − 2 ) 2 / 2 ( ∫ − ∞ + ∞ e − ( y − x − 3 ) 2 / 2 d y ) d x = 1 =ke^{-13/2}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}e^{- z^2/2}dz\int\limits_{-\infty}^{+\infty}(x-2)^2 e^{−(x-2)^2/2} \left(\int\limits_{-\infty}^{+\infty}e^{−(y-x-3)^2 /2}dy\right)dx=1 = k e − 13/2 − ∞ ∫ + ∞ e − z 2 /2 d z − ∞ ∫ + ∞ ( x − 2 ) 2 e − ( x − 2 ) 2 /2 ( − ∞ ∫ + ∞ e − ( y − x − 3 ) 2 /2 d y ) d x = 1
V ( Y ) = ∫ − ∞ + ∞ ∫ − ∞ + ∞ ∫ − ∞ + ∞ ( y − 5 ) 2 f ( x , y , z ) d x d y d z = V(Y)=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}(y-5)^2f(x,y,z)dxdydz= V ( Y ) = − ∞ ∫ + ∞ − ∞ ∫ + ∞ − ∞ ∫ + ∞ ( y − 5 ) 2 f ( x , y , z ) d x d y d z =
= k e − 13 / 2 ∫ − ∞ + ∞ e − z 2 / 2 d z ∫ − ∞ + ∞ e − ( x − 2 ) 2 / 2 ( ∫ − ∞ + ∞ ( y − 5 ) 2 e − ( y − x − 3 ) 2 / 2 d y ) d x = =ke^{-13/2}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}e^{- z^2/2}dz\int\limits_{-\infty}^{+\infty} e^{−(x-2)^2/2} \left(\int\limits_{-\infty}^{+\infty}(y-5)^2e^{−(y-x-3)^2 /2}dy\right)dx= = k e − 13/2 − ∞ ∫ + ∞ e − z 2 /2 d z − ∞ ∫ + ∞ e − ( x − 2 ) 2 /2 ( − ∞ ∫ + ∞ ( y − 5 ) 2 e − ( y − x − 3 ) 2 /2 d y ) d x =
= 1 2 π ∫ − ∞ + ∞ e − ( x − 2 ) 2 / 2 ( ∫ − ∞ + ∞ ( y + x − 2 ) 2 e − y 2 / 2 d y ) d x = =\frac{1}{2\pi}\int\limits_{-\infty}^{+\infty} e^{−(x-2)^2/2} \left(\int\limits_{-\infty}^{+\infty}(y+x-2)^2e^{−y^2 /2}dy\right)dx= = 2 π 1 − ∞ ∫ + ∞ e − ( x − 2 ) 2 /2 ( − ∞ ∫ + ∞ ( y + x − 2 ) 2 e − y 2 /2 d y ) d x =
= 1 2 π ∫ − ∞ + ∞ ( 1 + ( x − 2 ) 2 ) e − ( x − 2 ) 2 / 2 d x = =\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{+\infty} (1+(x-2)^2)e^{−(x-2)^2/2}dx= = 2 π 1 − ∞ ∫ + ∞ ( 1 + ( x − 2 ) 2 ) e − ( x − 2 ) 2 /2 d x =
= 1 2 π ∫ − ∞ + ∞ ( 1 + x 2 ) e − x 2 / 2 d x = 2 =\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{+\infty} (1+x^2)e^{−x^2/2}dx=2 = 2 π 1 − ∞ ∫ + ∞ ( 1 + x 2 ) e − x 2 /2 d x = 2
(4) C o v ( X , Z ) = ∫ − ∞ + ∞ ∫ − ∞ + ∞ ∫ − ∞ + ∞ z ( x − 2 ) f ( x , y , z ) d x d y d z = Cov(X, Z)=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}z(x-2)f(x,y,z)dxdydz= C o v ( X , Z ) = − ∞ ∫ + ∞ − ∞ ∫ + ∞ − ∞ ∫ + ∞ z ( x − 2 ) f ( x , y , z ) d x d y d z =
= k e − 13 / 2 ∫ − ∞ + ∞ z e − z 2 / 2 d z ∫ − ∞ + ∞ ( x − 2 ) e − ( x − 2 ) 2 / 2 ( ∫ − ∞ + ∞ e − ( y − x − 3 ) 2 / 2 d y ) d x = 0 =ke^{-13/2}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}ze^{- z^2/2}dz\int\limits_{-\infty}^{+\infty}(x-2) e^{−(x-2)^2/2} \left(\int\limits_{-\infty}^{+\infty}e^{−(y-x-3)^2 /2}dy\right)dx=0 = k e − 13/2 − ∞ ∫ + ∞ z e − z 2 /2 d z − ∞ ∫ + ∞ ( x − 2 ) e − ( x − 2 ) 2 /2 ( − ∞ ∫ + ∞ e − ( y − x − 3 ) 2 /2 d y ) d x = 0
Therefore, C o r r ( X , Z ) = C o v ( X , Z ) / ( σ X σ Z ) = 0 Corr(X,Z)=Cov(X,Z)/(\sigma_X\sigma_Z)=0 C orr ( X , Z ) = C o v ( X , Z ) / ( σ X σ Z ) = 0
C o v ( X , Y ) = ∫ − ∞ + ∞ ∫ − ∞ + ∞ ∫ − ∞ + ∞ ( x − 2 ) ( y − 5 ) f ( x , y , z ) d x d y d z = Cov(X, Y)=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}(x-2)(y-5)f(x,y,z)dxdydz= C o v ( X , Y ) = − ∞ ∫ + ∞ − ∞ ∫ + ∞ − ∞ ∫ + ∞ ( x − 2 ) ( y − 5 ) f ( x , y , z ) d x d y d z =
= k e − 13 / 2 ∫ − ∞ + ∞ e − z 2 / 2 d z ∫ − ∞ + ∞ ( x − 2 ) e − ( x − 2 ) 2 / 2 ( ∫ − ∞ + ∞ ( y − 5 ) e − ( y − x − 3 ) 2 / 2 d y ) d x = =ke^{-13/2}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}e^{- z^2/2}dz\int\limits_{-\infty}^{+\infty}(x-2) e^{−(x-2)^2/2} \left(\int\limits_{-\infty}^{+\infty}(y-5)e^{−(y-x-3)^2 /2}dy\right)dx= = k e − 13/2 − ∞ ∫ + ∞ e − z 2 /2 d z − ∞ ∫ + ∞ ( x − 2 ) e − ( x − 2 ) 2 /2 ( − ∞ ∫ + ∞ ( y − 5 ) e − ( y − x − 3 ) 2 /2 d y ) d x =
= 1 2 π ∫ − ∞ + ∞ ( x − 2 ) e − ( x − 2 ) 2 / 2 ( ∫ − ∞ + ∞ ( y + x − 2 ) e − y 2 / 2 d y ) d x = =\frac{1}{2\pi}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}(x-2) e^{−(x-2)^2/2} \left(\int\limits_{-\infty}^{+\infty}(y+x-2)e^{−y^2 /2}dy\right)dx= = 2 π 1 − ∞ ∫ + ∞ ( x − 2 ) e − ( x − 2 ) 2 /2 ( − ∞ ∫ + ∞ ( y + x − 2 ) e − y 2 /2 d y ) d x =
= 1 2 π ∫ − ∞ + ∞ ( x − 2 ) 2 e − ( x − 2 ) 2 / 2 d x = 1 =\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}(x-2)^2 e^{−(x-2)^2/2}dx=1 = 2 π 1 − ∞ ∫ + ∞ ( x − 2 ) 2 e − ( x − 2 ) 2 /2 d x = 1
σ X = V ( X ) = 1 \sigma_X=\sqrt{V(X)}=1 σ X = V ( X ) = 1
σ Y = V ( Y ) = 2 \sigma_Y=\sqrt{V(Y)}=\sqrt{2} σ Y = V ( Y ) = 2
C o v ( X , Y ) = C o r r ( X , Y ) / ( σ X σ Y ) = 1 / ( 1 ⋅ 2 ) = 2 / 2 Cov(X, Y)=Corr(X,Y)/(\sigma_X\sigma_Y)=1/(1\cdot\sqrt{2})=\sqrt{2}/2 C o v ( X , Y ) = C orr ( X , Y ) / ( σ X σ Y ) = 1/ ( 1 ⋅ 2 ) = 2 /2
5.W = X + Z W=X+Z W = X + Z
P ( W < w ) = ∫ − ∞ + ∞ ∫ − ∞ + ∞ ∫ − ∞ + ∞ I x + z < w ( x , y , z ) f ( x , y , z ) d x d y d z = P(W<w)=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}I_{x+z<w}(x,y,z)f(x,y,z)dxdydz= P ( W < w ) = − ∞ ∫ + ∞ − ∞ ∫ + ∞ − ∞ ∫ + ∞ I x + z < w ( x , y , z ) f ( x , y , z ) d x d y d z =
= k e − 13 / 2 ∫ − ∞ + ∞ e − z 2 / 2 ∫ − ∞ w − z e − ( x − 2 ) 2 / 2 ∫ − ∞ + ∞ e − ( y − x − 3 ) 2 / 2 d y d x d z = =ke^{-13/2}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}e^{- z^2/2}\int\limits_{-\infty}^{w-z}e^{−(x-2)^2/2} \int\limits_{-\infty}^{+\infty}e^{−(y-x-3)^2 /2}dydxdz= = k e − 13/2 − ∞ ∫ + ∞ e − z 2 /2 − ∞ ∫ w − z e − ( x − 2 ) 2 /2 − ∞ ∫ + ∞ e − ( y − x − 3 ) 2 /2 d y d x d z =
= 1 2 π ∫ − ∞ + ∞ e − z 2 / 2 ∫ − ∞ w − z e − ( x − 2 ) 2 / 2 d x d z =\frac{1}{2\pi}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}e^{- z^2/2}\int\limits_{-\infty}^{w-z}e^{−(x-2)^2/2} dxdz = 2 π 1 − ∞ ∫ + ∞ e − z 2 /2 − ∞ ∫ w − z e − ( x − 2 ) 2 /2 d x d z
f W ( w ) = d d w P ( W < w ) = 1 2 π d d w ∫ − ∞ + ∞ e − z 2 / 2 ∫ − ∞ w − z e − ( x − 2 ) 2 / 2 d x d z = f_W(w)=\frac{d}{dw}P(W<w)=\frac{1}{2\pi}\frac{d}{dw}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}e^{- z^2/2}\int\limits_{-\infty}^{w-z}e^{−(x-2)^2/2} dxdz= f W ( w ) = d w d P ( W < w ) = 2 π 1 d w d − ∞ ∫ + ∞ e − z 2 /2 − ∞ ∫ w − z e − ( x − 2 ) 2 /2 d x d z =
= 1 2 π ∫ − ∞ + ∞ e − z 2 / 2 e − ( w − z − 2 ) 2 / 2 d z = =\frac{1}{2\pi}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}e^{- z^2/2}e^{−(w-z-2)^2/2}dz= = 2 π 1 − ∞ ∫ + ∞ e − z 2 /2 e − ( w − z − 2 ) 2 /2 d z =
= 1 2 π ∫ − ∞ + ∞ e − ( 2 z 2 − 2 z w + w 2 + 4 z − 4 w + 4 ) / 2 d z = =\frac{1}{2\pi}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}e^{-(2z^2-2zw+w^2+4z-4w+4)/2}dz= = 2 π 1 − ∞ ∫ + ∞ e − ( 2 z 2 − 2 z w + w 2 + 4 z − 4 w + 4 ) /2 d z =
= 1 2 π ∫ − ∞ + ∞ e − ( z − w / 2 + 1 ) 2 e − ( w − 2 ) 2 / 4 d z = =\frac{1}{2\pi}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}e^{-(z-w/2+1)^2}e^{-(w-2)^2/4}dz= = 2 π 1 − ∞ ∫ + ∞ e − ( z − w /2 + 1 ) 2 e − ( w − 2 ) 2 /4 d z =
= 1 2 π e − ( w − 2 ) 2 / 4 ∫ − ∞ + ∞ e − z 2 d z = 1 2 π e − ( w − 2 ) 2 / 4 =\frac{1}{2\pi}e^{-(w-2)^2/4}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}e^{-z^2}dz=\frac{1}{2\sqrt{\pi}}e^{-(w-2)^2/4} = 2 π 1 e − ( w − 2 ) 2 /4 − ∞ ∫ + ∞ e − z 2 d z = 2 π 1 e − ( w − 2 ) 2 /4
#340153 on Dec 2023
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