f ( x ) = { C x e − x / 2 x > 0 0 x ≤ 0 f(x)= \begin{cases}
Cxe^{-x/2} & x>0 \\
0 & x\leq 0
\end{cases} f ( x ) = { C x e − x /2 0 x > 0 x ≤ 0 a. Find the value of C.
1 = ∫ − ∞ ∞ f ( x ) d x = ∫ 0 ∞ C x e − x / 2 d x = 1=\displaystyle\int_{-\infin}^\infin f(x)dx=\displaystyle\int_{0}^\infin Cxe^{-x/2}dx= 1 = ∫ − ∞ ∞ f ( x ) d x = ∫ 0 ∞ C x e − x /2 d x = = lim A → ∞ ( ∫ 0 ∞ C x e − x / 2 d x ) =\lim\limits_{A\rarr\infin}\bigg(\displaystyle\int_{0}^\infin Cxe^{-x/2}dx\bigg) = A → ∞ lim ( ∫ 0 ∞ C x e − x /2 d x )
∫ x e − x / 2 d x = − 2 x e − x / 2 + 2 ∫ e − x / 2 d x = \int{xe^{-x/2}}dx=-2xe^{-x/2}+2\int{e^{-x/2}}dx= ∫ x e − x /2 d x = − 2 x e − x /2 + 2 ∫ e − x /2 d x = = − 2 x e − x / 2 − 4 e − x / 2 + c 1 =-2xe^{-x/2}-4e^{-x/2}+c_1 = − 2 x e − x /2 − 4 e − x /2 + c 1
1 = C lim A → ∞ [ − 2 x e − x / 2 − 4 e − x / 2 ] A 0 = 1=C\lim\limits_{A\rarr\infin}\big[-2xe^{-x/2}-4e^{-x/2}\big]\begin{matrix}
A\\
0
\end{matrix}= 1 = C A → ∞ lim [ − 2 x e − x /2 − 4 e − x /2 ] A 0 =
= C ( − 0 − 0 + 0 + 4 ) = 4 C = > C = 1 4 =C(-0-0+0+4)=4C=>C={1\over 4} = C ( − 0 − 0 + 0 + 4 ) = 4 C => C = 4 1
f ( x ) = { 1 4 x e − x / 2 x > 0 0 x ≤ 0 f(x)= \begin{cases}
{1\over 4}xe^{-x/2} & x>0 \\
0 & x\leq 0
\end{cases} f ( x ) = { 4 1 x e − x /2 0 x > 0 x ≤ 0 b. Find the mean of X.
m e a n = E ( X ) = ∫ − ∞ ∞ x f ( x ) d x = mean=E(X)=\displaystyle\int_{-\infin}^\infin xf(x)dx= m e an = E ( X ) = ∫ − ∞ ∞ x f ( x ) d x = = ∫ 0 ∞ 1 4 x 2 e − x / 2 d x =\displaystyle\int_{0}^\infin {1\over 4}x^2 e^{-x/2}dx = ∫ 0 ∞ 4 1 x 2 e − x /2 d x
∫ x 2 e − x / 2 d x = − 2 x 2 e − x / 2 + 4 ∫ x e − x / 2 d x = \int{x^2e^{-x/2}}dx=-2x^2 e^{-x/2}+4\int{xe^{-x/2}}dx= ∫ x 2 e − x /2 d x = − 2 x 2 e − x /2 + 4 ∫ x e − x /2 d x = = − 2 x 2 e − x / 2 − 8 x e − x / 2 − 16 e − x / 2 + c 2 =-2x^2 e^{-x/2}-8xe^{-x/2}-16e^{-x/2}+c_2 = − 2 x 2 e − x /2 − 8 x e − x /2 − 16 e − x /2 + c 2
m e a n = E ( X ) = mean=E(X)= m e an = E ( X ) = = 1 4 lim A → ∞ [ − 2 x 2 e − x / 2 − 8 x e − x / 2 − 16 e − x / 2 ] A 0 = ={1\over 4}\lim\limits_{A\rarr\infin}\big[-2x^2 e^{-x/2}-8xe^{-x/2}-16e^{-x/2}\big]\begin{matrix}
A\\
0
\end{matrix}= = 4 1 A → ∞ lim [ − 2 x 2 e − x /2 − 8 x e − x /2 − 16 e − x /2 ] A 0 = = 1 4 ( − 0 − 0 − 0 + 0 + 0 + 16 ) = 4 ={1\over 4}(-0-0-0+0+0+16)=4 = 4 1 ( − 0 − 0 − 0 + 0 + 0 + 16 ) = 4 c. Find the 2nd Quartile of X.
F ( x ) = ∫ − ∞ x f ( t ) d t F(x)=\displaystyle\int_{-\infin}^x f(t)dt F ( x ) = ∫ − ∞ x f ( t ) d t
∫ 0 x 1 4 t e − t / 2 d t = 1 4 [ − 2 t e − t / 2 − 4 e − t / 2 ] x 0 = \displaystyle\int_{0}^x {1\over 4}te^{-t/2}dt={1\over 4}\big[-2te^{-t/2}-4e^{-t/2}\big]\begin{matrix}
x\\
0
\end{matrix}= ∫ 0 x 4 1 t e − t /2 d t = 4 1 [ − 2 t e − t /2 − 4 e − t /2 ] x 0 =
= 1 4 ( − 2 x e − x / 2 − 4 e − x / 2 + 0 + 4 ) ={1\over 4}(-2xe^{-x/2}-4e^{-x/2}+0+4) = 4 1 ( − 2 x e − x /2 − 4 e − x /2 + 0 + 4 ) F ( 0 ) = 0 F(0)=0 F ( 0 ) = 0
Then
F ( x ) = { − 1 2 x e − x / 2 − e − x / 2 + 1 x > 0 0 x ≤ 0 F(x)= \begin{cases}
-{1\over 2}xe^{-x/2}-e^{-x/2}+1 & x>0 \\
0 & x\leq 0
\end{cases} F ( x ) = { − 2 1 x e − x /2 − e − x /2 + 1 0 x > 0 x ≤ 0
F ( x m ) = 1 2 = > − 1 2 x m e − x m / 2 − e − x m / 2 + 1 = 1 2 = > F(x_m)={1\over 2}=> -{1\over 2}x_me^{-x_m/2}-e^{-x_m/2}+1={1\over 2}=> F ( x m ) = 2 1 => − 2 1 x m e − x m /2 − e − x m /2 + 1 = 2 1 =>
= > ( x m + 2 ) e − x m / 2 = 1 => (x_m+2)e^{-x_m/2}=1 => ( x m + 2 ) e − x m /2 = 1
m e d i a n = 2 n d Q u a r t i l e = x m ≈ 3.357 median=2^{nd}Quartile=x_m\approx3.357 m e d ian = 2 n d Q u a r t i l e = x m ≈ 3.357
d. Also, find the standard deviation of X.
V a r ( X ) = σ 2 = E ( X 2 ) − [ E ( X ) ] 2 Var(X)=\sigma^2=E(X^2)-[E(X)]^2 Va r ( X ) = σ 2 = E ( X 2 ) − [ E ( X ) ] 2
E ( X 2 ) = ∫ − ∞ ∞ x 2 f ( x ) d x = E(X^2)=\displaystyle\int_{-\infin}^\infin x^2f(x)dx= E ( X 2 ) = ∫ − ∞ ∞ x 2 f ( x ) d x =
= ∫ 0 ∞ 1 4 x 3 e − x / 2 d x =\displaystyle\int_{0}^\infin {1\over 4}x^3 e^{-x/2}dx = ∫ 0 ∞ 4 1 x 3 e − x /2 d x
∫ x 3 e − x / 2 d x = − 2 x 3 e − x / 2 + 6 ∫ x 2 e − x / 2 d x = \int{x^3e^{-x/2}}dx=-2x^3 e^{-x/2}+6\int{x^2e^{-x/2}}dx= ∫ x 3 e − x /2 d x = − 2 x 3 e − x /2 + 6 ∫ x 2 e − x /2 d x =
= − 2 x 3 e − x / 2 + 6 ( − 2 x 2 e − x / 2 − 8 x e − x / 2 − 16 e − x / 2 ) = =-2x^3 e^{-x/2}+6(-2x^2 e^{-x/2}-8xe^{-x/2}-16e^{-x/2})= = − 2 x 3 e − x /2 + 6 ( − 2 x 2 e − x /2 − 8 x e − x /2 − 16 e − x /2 ) =
= − 2 x 3 e − x / 2 − 12 x 2 e − x / 2 − 48 x e − x / 2 − 96 e − x / 2 =-2x^3 e^{-x/2}-12x^2 e^{-x/2}-48xe^{-x/2}-96e^{-x/2} = − 2 x 3 e − x /2 − 12 x 2 e − x /2 − 48 x e − x /2 − 96 e − x /2
E ( X 2 ) = 1 4 lim A → ∞ [ − 2 x 3 e − x / 2 − 12 x 2 e − x / 2 − 48 x e − x / 2 − 96 e − x / 2 ] A 0 = E(X^2)={1\over 4}\lim\limits_{A\rarr\infin}\big[-2x^3 e^{-x/2}-12x^2 e^{-x/2}-48xe^{-x/2}-96e^{-x/2}\big]\begin{matrix}
A\\
0
\end{matrix}= E ( X 2 ) = 4 1 A → ∞ lim [ − 2 x 3 e − x /2 − 12 x 2 e − x /2 − 48 x e − x /2 − 96 e − x /2 ] A 0 =
= 1 4 ( − 0 − 0 − 0 + 0 + 0 + 96 ) = 24 ={1\over 4}(-0-0-0+0+0+96)=24 = 4 1 ( − 0 − 0 − 0 + 0 + 0 + 96 ) = 24
V a r ( X ) = σ 2 = E ( X 2 ) − [ E ( X ) ] 2 = 24 − ( 4 ) 2 = 8 Var(X)=\sigma^2=E(X^2)-[E(X)]^2=24-(4)^2=8 Va r ( X ) = σ 2 = E ( X 2 ) − [ E ( X ) ] 2 = 24 − ( 4 ) 2 = 8
σ = 8 = 2 2 ≈ 2.8284 \sigma=\sqrt{8}=2\sqrt{2}\approx2.8284 σ = 8 = 2 2 ≈ 2.8284
Comments
The equation F(x_m)=1/2 is solved for x_m>0. First step is to plot the graph of the function (x+2)exp(-x/2)-1=0 and determine the point in segment [a,b]=[3,4], where the graph crosses the x-axis. Further, any numerical method can be applied to determine the root x_m with a higher accuracy. For example, the bisection method will help to do it. After several steps one gets x_m=3.357, though one can continue the algorithm of the bisection method if necessary.
(x m +2)e −x m /2 =1 please show more steps in here
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Wowww greattttt