Answer on Question #64534 – Math – Real Analysis
Question
If a > 0 , b > 0 a > 0, b > 0 a > 0 , b > 0 lim n → ∞ ( ( n + a ) ( n + b ) − n ) = a + b 2 \lim_{n \to \infty} \left( \sqrt{(n + a)(n + b)} - n \right) = \frac{a + b}{2} lim n → ∞ ( ( n + a ) ( n + b ) − n ) = 2 a + b
Solution
Method 1
lim n → ∞ ( ( n + a ) ( n + b ) − n ) = lim n → ∞ ( n + a ) ( n + b ) − n ( n + a ) ( n + b ) + n ⋅ ( ( n + a ) ( n + b ) + n ) = lim n → ∞ ( n + a ) ( n + b ) − n 2 ( n + a ) ( n + b ) + n = = lim n → ∞ n 2 + b n + a n + a b − n 2 ( n + a ) ( n + b ) + n = lim n → ∞ ( a + b ) n + a b ( n + a ) ( n + b ) + n = = lim n → ∞ n ( ( a + b ) + a b n ) n ( ( 1 + a n ) ( 1 + b n ) + 1 ) = = lim n → ∞ ( a + b ) + a b n ( 1 + a n ) ( 1 + b n ) + 1 = = lim n → ∞ ( ( a + b ) + a b n ) lim n → ∞ ( ( 1 + a n ) ( 1 + b n ) + 1 ) = ( a + b ) + 0 ( 1 + 0 ) ( 1 + 0 ) + 1 = a + b 1 + 1 = a + b 2 . \begin{aligned}
\lim_{n \to \infty} \left( \sqrt{(n + a)(n + b)} - n \right) &= \lim_{n \to \infty} \frac{ \sqrt{(n + a)(n + b)} - n }{ \sqrt{(n + a)(n + b)} + n } \\
&\quad \cdot \left( \sqrt{(n + a)(n + b)} + n \right) = \lim_{n \to \infty} \frac{(n + a)(n + b) - n^2 }{ \sqrt{(n + a)(n + b)} + n } = \\
&= \lim_{n \to \infty} \frac{ n^2 + bn + an + ab - n^2 }{ \sqrt{(n + a)(n + b)} + n } = \lim_{n \to \infty} \frac{ (a + b)n + ab }{ \sqrt{(n + a)(n + b)} + n } = \\
&= \lim_{n \to \infty} \frac{ n \left( (a + b) + \frac{ab}{n} \right) }{ n \left( \sqrt{(1 + \frac{a}{n})(1 + \frac{b}{n})} + 1 \right) } = \\
&= \lim_{n \to \infty} \frac{ (a + b) + \frac{ab}{n} }{ \sqrt{(1 + \frac{a}{n})(1 + \frac{b}{n})} + 1 } = \\
&= \frac{ \lim_{n \to \infty} \left( (a + b) + \frac{ab}{n} \right) }{ \lim_{n \to \infty} \left( \sqrt{(1 + \frac{a}{n})(1 + \frac{b}{n})} + 1 \right) } = \frac{ (a + b) + 0 }{ \sqrt{(1 + 0)(1 + 0)} + 1 } = \frac{a + b}{1 + 1} = \frac{a + b}{2}.
\end{aligned} n → ∞ lim ( ( n + a ) ( n + b ) − n ) = n → ∞ lim ( n + a ) ( n + b ) + n ( n + a ) ( n + b ) − n ⋅ ( ( n + a ) ( n + b ) + n ) = n → ∞ lim ( n + a ) ( n + b ) + n ( n + a ) ( n + b ) − n 2 = = n → ∞ lim ( n + a ) ( n + b ) + n n 2 + bn + an + ab − n 2 = n → ∞ lim ( n + a ) ( n + b ) + n ( a + b ) n + ab = = n → ∞ lim n ( ( 1 + n a ) ( 1 + n b ) + 1 ) n ( ( a + b ) + n ab ) = = n → ∞ lim ( 1 + n a ) ( 1 + n b ) + 1 ( a + b ) + n ab = = lim n → ∞ ( ( 1 + n a ) ( 1 + n b ) + 1 ) lim n → ∞ ( ( a + b ) + n ab ) = ( 1 + 0 ) ( 1 + 0 ) + 1 ( a + b ) + 0 = 1 + 1 a + b = 2 a + b .
QED
Method 2
Transforming the expression ( n + a ) ( n + b ) − n \sqrt{(n + a)(n + b)} - n ( n + a ) ( n + b ) − n
( n + a ) ( n + b ) − n = n 2 + n ( a + b ) + a b − n = n 2 ( 1 + a + b n + a b n 2 ) − n = n 1 + a + b n + a b n 2 − n = n ( 1 + a + b n + a b n 2 − 1 ) . \sqrt{(n + a)(n + b)} - n = \sqrt{n^2 + n(a + b) + ab} - n = \sqrt{n^2 \left(1 + \frac{a + b}{n} + \frac{ab}{n^2}\right)} - n = n \sqrt{1 + \frac{a + b}{n} + \frac{ab}{n^2}} - n = n \left(\sqrt{1 + \frac{a + b}{n} + \frac{ab}{n^2}} - 1\right). ( n + a ) ( n + b ) − n = n 2 + n ( a + b ) + ab − n = n 2 ( 1 + n a + b + n 2 ab ) − n = n 1 + n a + b + n 2 ab − n = n ( 1 + n a + b + n 2 ab − 1 ) .
Since ( 1 + α ( n ) ) β − 1 ∼ β ⋅ α ( n ) \left(1 + \alpha(n)\right)^{\beta} - 1 \sim \beta \cdot \alpha(n) ( 1 + α ( n ) ) β − 1 ∼ β ⋅ α ( n ) lim n → ∞ α ( n ) = 0 \lim_{n \to \infty} \alpha(n) = 0 lim n → ∞ α ( n ) = 0
lim n → ∞ ( ( n + a ) ( n + b ) − n ) = lim n → ∞ n ( 1 + a + b n + a b n 2 − 1 ) = lim n → ∞ n ⋅ 1 2 ⋅ ( a + b n + a b n 2 ) = lim n → ∞ ( a + b 2 + a b 2 n ) = a + b 2 + 0 = a + b 2 . \lim_{n \to \infty} \left(\sqrt{(n + a)(n + b)} - n\right) = \lim_{n \to \infty} n \left(\sqrt{1 + \frac{a + b}{n} + \frac{ab}{n^2}} - 1\right) = \lim_{n \to \infty} n \cdot \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{a + b}{n} + \frac{ab}{n^2}\right) = \lim_{n \to \infty} \left(\frac{a + b}{2} + \frac{ab}{2n}\right) = \frac{a + b}{2} + 0 = \frac{a + b}{2}. n → ∞ lim ( ( n + a ) ( n + b ) − n ) = n → ∞ lim n ( 1 + n a + b + n 2 ab − 1 ) = n → ∞ lim n ⋅ 2 1 ⋅ ( n a + b + n 2 ab ) = n → ∞ lim ( 2 a + b + 2 n ab ) = 2 a + b + 0 = 2 a + b .
QED.
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#340153 on Dec 2023