Answer to Question #312172 in Real Analysis for Jyo

Question

let ck>0 for k=1,2,....,n.show that( c1+c2+....cn)/√n≤[ c1^2+c2^2+....+cn^2]^1/2≤c1+c2+...+cn

Answer 1

$\frac{c_1+c_2+...+c_n}{\sqrt{n}}\leq\sqrt{c_1^2+c_2^2+...+c_n^2}\leq \\ \leq c_1+c_2+...+c_n\\ c_k>0, k=1,2,...,n\\ \frac{c_1+c_2+...+c_n}{\sqrt{n}}\leq\sqrt{c_1^2+c_2^2+...+c_n^2}\\ (\frac{c_1+c_2+...+c_n}{\sqrt{n}})^2\leq(\sqrt{c_1^2+c_2^2+...+c_n^2})^2\\ \frac{(c_1+c_2+...+c_n)^2}{n}\leq c_1^2+c_2^2+...+c_n^2\\ (c_1+c_2+...+c_n)^2\leq n(c_1^2+c_2^2+...+c_n^2)$

If $n=1, c_1^2\leq c_1^2$ true.

Lets $n=k, (c_1+c_2+...+c_k)^2\leq k(c_1^2+c_2^2+...+c_k^2)\\$ .

Proof if $n=k+1$

$(c_1+c_2+...+c_{k+1})^2\leq\\\leq (k+1)(c_1^2+c_2^2+...+c_{k+1}^2)\\ (c_1+c_2+...+c_{k+1})^2=\\=((c_1+c_2+...+c_k)+c_{k+1})^2=\\ =(c_1+c_2+...+c_k)^2+\\+2(c_1+c_2+...+c_k)c_{k+1}+c_{k+1}^2 \leq\\\leq k(c_1^2+c_2^2+...+c_{k}^2)+\\ +2(c_1+c_2+...+c_k)c_{k+1}+c_{k+1}^2=\\ =k(c_1^2+c_2^2+...+c_{k}^2)+\\ +2c_1c_{k+1}+2c_2c_{k+1}+...+2c_kc_{k+1}+c_{k+1}^2\leq$

$(a-b)^2\geq 0\\ a^2-2ab+b^2\geq0\\ 2ab\leq a^2+b^2$

$\leq k(c_1^2+c_2^2+...+c_{k}^2)+\\ +c_1^2+c^2_{k+1}+c_2^2+c^2_{k+1}+...+c^2_k+c^2_{k+1}+c_{k+1}^2=\\ =(k+1)(c_1^2+c_2^2+...+c_{k}^2)+(k+1)c^2_{k+1}=\\ (k+1)(c_1^2+c_2^2+...+c_{k}^2+c^2_{k+1})$

True

$\sqrt{c_1^2+c_2^2+...+c_n^2}\leq c_1+c_2+...+c_n\\ c_1^2+c_2^2+...+c_n^2\leq (c_1+c_2+...+c_n)^2\\ c_1^2+c_2^2+...+c_n^2\leq c_1^2+c_2^2+...+c_n^2+\\ +2c_1c_2+...+2c_1c_n+...+2c_{n-1}c_n\\ c_k>0, k=1,2,...,n\\ 0<2c_1c_2+...+2c_1c_n+...+2c_{n-1}c_n$

True