Answer on Question #45358 – Math - Matrix | Tensor Analysis
Problem.
1. Find all values of a , b , c a, b, c a , b , c d d d A A A
A = [ [ 0 , 2 a − 3 b + c , 3 a − 5 b + 5 c ] , [ − 2 , 0 , 5 a − 8 b + 6 c ] , [ − 3 , − 5 , d ] ] A = \left[ \left[ 0, 2a - 3b + c, 3a - 5b + 5c \right], \left[ -2, 0, 5a - 8b + 6c \right], \left[ -3, -5, d \right] \right] A = [ [ 0 , 2 a − 3 b + c , 3 a − 5 b + 5 c ] , [ − 2 , 0 , 5 a − 8 b + 6 c ] , [ − 3 , − 5 , d ] ]
2. Let R R R
[ [ − 8 , 33 , 38 , 173 , − 30 ] , [ 0 , 0 , − 1 , − 4 , 0 ] , [ 0 , 0 , − 5 , − 25 , 1 ] , [ 0 , 0 , 1 , 5 , 0 ] , [ 4 , − 16 , − 19 , − 86 , 15 ] ] \left[ \left[ -8, 33, 38, 173, -30 \right], \left[ 0, 0, -1, -4, 0 \right], \left[ 0, 0, -5, -25, 1 \right], \left[ 0, 0, 1, 5, 0 \right], \left[ 4, -16, -19, -86, 15 \right] \right] [ [ − 8 , 33 , 38 , 173 , − 30 ] , [ 0 , 0 , − 1 , − 4 , 0 ] , [ 0 , 0 , − 5 , − 25 , 1 ] , [ 0 , 0 , 1 , 5 , 0 ] , [ 4 , − 16 , − 19 , − 86 , 15 ] ]
(a) Using technology, and the characteristic polynomial of R R R
(b) For each of the eigenvalues, determine (by hand) how many linearly independent eigenvectors can be found.
Solution.
(a) The matrix A = [ 0 2 a − 3 b + c 3 a − 5 b + 5 c − 2 0 5 a − 8 b + 6 c − 3 − 5 d ] A = \begin{bmatrix} 0 & 2a - 3b + c & 3a - 5b + 5c \\ -2 & 0 & 5a - 8b + 6c \\ -3 & -5 & d \end{bmatrix} A = ⎣ ⎡ 0 − 2 − 3 2 a − 3 b + c 0 − 5 3 a − 5 b + 5 c 5 a − 8 b + 6 c d ⎦ ⎤ − A T = A -A^T = A − A T = A
[ 0 2 3 − ( 2 a − 3 b + c ) 0 5 − ( 3 a − 5 b + 5 c ) − ( 5 a − 8 b + 6 c ) − d ] = [ 0 2 a − 3 b + c 3 a − 5 b + 5 c − 2 0 5 a − 8 b + 6 c − 3 − 5 d ] . \begin{bmatrix} 0 & 2 & 3 \\ -(2a - 3b + c) & 0 & 5 \\ -(3a - 5b + 5c) & -(5a - 8b + 6c) & -d \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 2a - 3b + c & 3a - 5b + 5c \\ -2 & 0 & 5a - 8b + 6c \\ -3 & -5 & d \end{bmatrix}. ⎣ ⎡ 0 − ( 2 a − 3 b + c ) − ( 3 a − 5 b + 5 c ) 2 0 − ( 5 a − 8 b + 6 c ) 3 5 − d ⎦ ⎤ = ⎣ ⎡ 0 − 2 − 3 2 a − 3 b + c 0 − 5 3 a − 5 b + 5 c 5 a − 8 b + 6 c d ⎦ ⎤ .
Then d = 0 d = 0 d = 0 2 a − 3 b + c = 2 2a - 3b + c = 2 2 a − 3 b + c = 2 3 a − 5 b + 5 c = 3 3a - 5b + 5c = 3 3 a − 5 b + 5 c = 3 5 a − 8 b + 6 c = − 5 5a - 8b + 6c = -5 5 a − 8 b + 6 c = − 5
We need to solve system
{ 2 a − 3 b + c = 2 ; 3 a − 5 b + 5 c = 3 ; 5 a − 8 b + 6 c = 5. \left\{ \begin{array}{l} 2a - 3b + c = 2; \\ 3a - 5b + 5c = 3; \\ 5a - 8b + 6c = 5. \end{array} \right. ⎩ ⎨ ⎧ 2 a − 3 b + c = 2 ; 3 a − 5 b + 5 c = 3 ; 5 a − 8 b + 6 c = 5.
Hence
{ 2 a − 3 b + c = 2 ; 3 a − 5 b + 5 c − 5 ⋅ ( 2 a − 3 b + c ) = 3 − 10 ; 5 a − 8 b + 6 c − 6 ⋅ ( 2 a − 3 b + c ) = 5 − 12. \begin{cases}
2a - 3b + c = 2; \\
3a - 5b + 5c - 5 \cdot (2a - 3b + c) = 3 - 10; \\
5a - 8b + 6c - 6 \cdot (2a - 3b + c) = 5 - 12. \\
\end{cases} ⎩ ⎨ ⎧ 2 a − 3 b + c = 2 ; 3 a − 5 b + 5 c − 5 ⋅ ( 2 a − 3 b + c ) = 3 − 10 ; 5 a − 8 b + 6 c − 6 ⋅ ( 2 a − 3 b + c ) = 5 − 12. { 2 a − 3 b + c = 2 ; − 7 a + 10 b = − 7 ; − 7 a + 10 b = − 7. \left\{ \begin{array}{l} 2a - 3b + c = 2; \\ -7a + 10b = -7; \\ -7a + 10b = -7. \end{array} \right. ⎩ ⎨ ⎧ 2 a − 3 b + c = 2 ; − 7 a + 10 b = − 7 ; − 7 a + 10 b = − 7.
Therefore three equations are linearly dependent and the solution is a = t a = t a = t b = 0.7 t − 0.7 b = 0.7t - 0.7 b = 0.7 t − 0.7 c = 2 − 2 t + 2.1 t − 2.1 = 0.1 t − 0.1 c = 2 - 2t + 2.1t - 2.1 = 0.1t - 0.1 c = 2 − 2 t + 2.1 t − 2.1 = 0.1 t − 0.1 t ∈ R t \in \mathbb{R} t ∈ R
**Answer**: a = t a = t a = t b = 0.7 t − 0.7 b = 0.7t - 0.7 b = 0.7 t − 0.7 c = 0.1 t − 0.1 c = 0.1t - 0.1 c = 0.1 t − 0.1 d = 0 d = 0 d = 0 t ∈ R t \in \mathbb{R} t ∈ R
2.
(a) From MATLAB
```
>> R = [-8, 33, 38, 173, -30; 0, 0, -1, -4, 0; 0, 0, -5, -25, 1; 0, 0, 1, 5, 0; 4, -16, -19, -86, 15];
P = poly(R)
```
```
P =
```
1.0000 -7.0000 19.0000 -25.0000 16.0000 -4.0000
```
>> R = roots(P)
```
```
R =
```
2.0000
2.0000
1.0001
0.9999 + 0.0001i
0.9999 - 0.0001i
Hence the characteristic polynomial is P ( λ ) = λ 5 − 7 λ 4 + 19 λ 3 − 25 λ 2 + 16 λ − 4 P(\lambda) = \lambda^5 - 7\lambda^4 + 19\lambda^3 - 25\lambda^2 + 16\lambda - 4 P ( λ ) = λ 5 − 7 λ 4 + 19 λ 3 − 25 λ 2 + 16 λ − 4 λ = 2 \lambda = 2 λ = 2 λ = 1 \lambda = 1 λ = 1 λ = 1 \lambda = 1 λ = 1 λ = 2 \lambda = 2 λ = 2
(b) For λ = 2 \lambda = 2 λ = 2
5 − rank ( R − 2 I ) 5 - \operatorname {rank} (R - 2 I) 5 − rank ( R − 2 I )
linearly independent eigenvectors.
5 − rank ( R − 2 I ) = 5 − rank [ − 10 33 38 173 − 30 0 − 2 − 1 − 4 0 0 0 − 7 − 25 1 0 0 1 3 0 4 − 16 − 19 − 86 13 ] 5 - \operatorname {rank} (R - 2 I) = 5 - \operatorname {rank} \left[ \begin{array}{cccc} - 1 0 & 3 3 & 3 8 & 1 7 3 & - 3 0 \\ 0 & - 2 & - 1 & - 4 & 0 \\ 0 & 0 & - 7 & - 2 5 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 3 & 0 \\ 4 & - 1 6 & - 1 9 & - 8 6 & 1 3 \end{array} \right] 5 − rank ( R − 2 I ) = 5 − rank ⎣ ⎡ − 10 0 0 0 4 33 − 2 0 0 − 16 38 − 1 − 7 1 − 19 173 − 4 − 25 3 − 86 − 30 0 1 0 13 ⎦ ⎤ [ − 10 33 38 173 − 30 0 − 2 − 1 − 4 0 0 0 − 7 − 25 1 0 0 1 3 0 4 − 16 − 19 − 86 13 ] ∼ [ − 10 33 38 173 − 30 0 − 2 − 1 − 4 0 0 0 − 7 − 25 1 0 0 1 3 0 0 0 − 2.4 − 11.2 11 ] ∼ [ − 10 33 38 173 − 30 0 − 2 − 1 − 4 0 0 0 − 7 − 25 1 0 0 0 − 4 1 0 0 0 0 0 ] \left[ \begin{array}{cccc} - 1 0 & 3 3 & 3 8 & 1 7 3 & - 3 0 \\ 0 & - 2 & - 1 & - 4 & 0 \\ 0 & 0 & - 7 & - 2 5 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 3 & 0 \\ 4 & - 1 6 & - 1 9 & - 8 6 & 1 3 \end{array} \right] \sim \left[ \begin{array}{cccc} - 1 0 & 3 3 & 3 8 & 1 7 3 & - 3 0 \\ 0 & - 2 & - 1 & - 4 & 0 \\ 0 & 0 & - 7 & - 2 5 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & - 2. 4 & - 1 1. 2 & 1 1 \end{array} \right] \sim \left[ \begin{array}{cccc} - 1 0 & 3 3 & 3 8 & 1 7 3 & - 3 0 \\ 0 & - 2 & - 1 & - 4 & 0 \\ 0 & 0 & - 7 & - 2 5 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & - 4 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right] ⎣ ⎡ − 10 0 0 0 4 33 − 2 0 0 − 16 38 − 1 − 7 1 − 19 173 − 4 − 25 3 − 86 − 30 0 1 0 13 ⎦ ⎤ ∼ ⎣ ⎡ − 10 0 0 0 0 33 − 2 0 0 0 38 − 1 − 7 1 − 2.4 173 − 4 − 25 3 − 11.2 − 30 0 1 0 11 ⎦ ⎤ ∼ ⎣ ⎡ − 10 0 0 0 0 33 − 2 0 0 0 38 − 1 − 7 0 0 173 − 4 − 25 − 4 0 − 30 0 1 1 0 ⎦ ⎤
Hence rank [ − 10 33 38 173 − 30 0 − 2 − 1 − 4 0 0 0 − 7 − 25 1 0 0 0 − 4 1 0 0 0 0 0 ] = 4 \left[ \begin{array}{cccc} - 10 & 33 & 38 & 173 & -30\\ 0 & -2 & -1 & -4 & 0\\ 0 & 0 & -7 & -25 & 1\\ 0 & 0 & 0 & -4 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right] = 4 ⎣ ⎡ − 10 0 0 0 0 33 − 2 0 0 0 38 − 1 − 7 0 0 173 − 4 − 25 − 4 0 − 30 0 1 1 0 ⎦ ⎤ = 4
eigenvector.
For λ = 1 \lambda = 1 λ = 1
5 − rank ( R − I ) 5 - \operatorname {rank} (R - I) 5 − rank ( R − I )
linearly independent eigenvectors.
5 − rank ( R − I ) = 5 − rank [ − 9 33 38 173 − 30 0 − 1 − 1 − 4 0 0 0 − 6 − 25 1 0 0 1 4 0 4 − 16 − 19 − 86 14 ] 5 - \operatorname {rank} (R - I) = 5 - \operatorname {rank} \left[ \begin{array}{cccc} - 9 & 3 3 & 3 8 & 1 7 3 & - 3 0 \\ 0 & - 1 & - 1 & - 4 & 0 \\ 0 & 0 & - 6 & - 2 5 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 4 & 0 \\ 4 & - 1 6 & - 1 9 & - 8 6 & 1 4 \end{array} \right] 5 − rank ( R − I ) = 5 − rank ⎣ ⎡ − 9 0 0 0 4 33 − 1 0 0 − 16 38 − 1 − 6 1 − 19 173 − 4 − 25 4 − 86 − 30 0 1 0 14 ⎦ ⎤ [ − 9 33 38 173 − 30 0 − 1 − 1 − 4 0 0 0 − 6 − 25 1 0 0 1 4 0 4 − 16 − 19 − 86 14 ] ∼ [ 4 − 16 − 19 − 86 14 0 − 1 − 1 − 4 0 0 0 − 6 − 25 1 0 0 1 4 0 − 9 33 38 173 − 30 ] \left[ \begin{array}{cccccc}
-9 & 33 & 38 & 173 & -30 \\
0 & -1 & -1 & -4 & 0 \\
0 & 0 & -6 & -25 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 4 & 0 \\
4 & -16 & -19 & -86 & 14
\end{array} \right]
\sim
\left[ \begin{array}{cccccc}
4 & -16 & -19 & -86 & 14 \\
0 & -1 & -1 & -4 & 0 \\
0 & 0 & -6 & -25 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 4 & 0 \\
-9 & 33 & 38 & 173 & -30
\end{array} \right] ⎣ ⎡ − 9 0 0 0 4 33 − 1 0 0 − 16 38 − 1 − 6 1 − 19 173 − 4 − 25 4 − 86 − 30 0 1 0 14 ⎦ ⎤ ∼ ⎣ ⎡ 4 0 0 0 − 9 − 16 − 1 0 0 33 − 19 − 1 − 6 1 38 − 86 − 4 − 25 4 173 14 0 1 0 − 30 ⎦ ⎤ ∼ [ 4 − 16 − 19 − 86 14 0 − 1 − 1 − 4 0 0 0 − 6 − 25 1 0 0 1 4 0 0 − 3 − 4.75 − 20.5 1.5 ] ∼ [ 4 − 16 − 19 − 86 14 0 − 1 − 1 − 4 0 0 0 0 − 6 − 25 1 0 0 1 4 0 0 0 − 1.75 − 8.5 1.5 ] \sim
\left[ \begin{array}{cccccc}
4 & -16 & -19 & -86 & 14 \\
0 & -1 & -1 & -4 & 0 \\
0 & 0 & -6 & -25 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 4 & 0 \\
0 & -3 & -4.75 & -20.5 & 1.5
\end{array} \right]
\sim
\left[ \begin{array}{cccccc}
4 & -16 & -19 & -86 & 14 \\
0 & -1 & -1 & -4 & 0 \\
0 & 0 & 0 & -6 & -25 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 4 & 0 \\
0 & 0 & -1.75 & -8.5 & 1.5
\end{array} \right] ∼ ⎣ ⎡ 4 0 0 0 0 − 16 − 1 0 0 − 3 − 19 − 1 − 6 1 − 4.75 − 86 − 4 − 25 4 − 20.5 14 0 1 0 1.5 ⎦ ⎤ ∼ ⎣ ⎡ 4 0 0 0 0 − 16 − 1 0 0 0 − 19 − 1 0 1 − 1.75 − 86 − 4 − 6 4 − 8.5 14 0 − 25 0 1.5 1 ⎦ ⎤ ∼ [ 4 − 16 − 19 − 86 14 0 − 1 − 1 − 4 0 0 0 1 4 0 0 0 0 − 1 1 0 0 0 − 1.5 1.5 ] ∼ [ 4 − 16 − 19 − 86 14 0 − 1 − 1 − 4 0 0 0 1 4 0 0 0 0 − 1 1 ] \sim
\left[ \begin{array}{cccccc}
4 & -16 & -19 & -86 & 14 \\
0 & -1 & -1 & -4 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 4 & 0 \\
0 & 0 & 0 & -1 & 1 \\
0 & 0 & 0 & -1.5 & 1.5
\end{array} \right]
\sim
\left[ \begin{array}{cccccc}
4 & -16 & -19 & -86 & 14 \\
0 & -1 & -1 & -4 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 4 & 0 \\
0 & 0 & 0 & -1 & 1
\end{array} \right] ∼ ⎣ ⎡ 4 0 0 0 0 − 16 − 1 0 0 0 − 19 − 1 1 0 0 − 86 − 4 4 − 1 − 1.5 14 0 0 1 1.5 ⎦ ⎤ ∼ ⎣ ⎡ 4 0 0 0 − 16 − 1 0 0 − 19 − 1 1 0 − 86 − 4 4 − 1 14 0 0 1 ⎦ ⎤
Hence rank
[ 4 − 16 − 19 − 86 14 0 − 1 − 1 − 4 0 0 0 1 4 0 0 0 0 − 1 1 0 0 0 0 0 ] = 4 and there are 1 linearly independent eigenvector. \left[ \begin{array}{cccccc}
4 & -16 & -19 & -86 & 14 \\
0 & -1 & -1 & -4 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 4 & 0 \\
0 & 0 & 0 & -1 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{array} \right]
= 4 \text{ and there are 1 linearly independent eigenvector.} ⎣ ⎡ 4 0 0 0 0 − 16 − 1 0 0 0 − 19 − 1 1 0 0 − 86 − 4 4 − 1 0 14 0 0 1 0 ⎦ ⎤ = 4 and there are 1 linearly independent eigenvector.
www.AssignmentExpert.com
#340153 on Dec 2023