Answer on Question #80861 – Math – Linear Algebra
Question
Find the inverse of the matrix [ − 1 2 1 0 1 1 1 0 2 ] \begin{bmatrix} -1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 2 \end{bmatrix} ⎣ ⎡ − 1 0 1 2 1 0 1 1 2 ⎦ ⎤
Solution
A = [ − 1 2 1 0 1 1 1 0 2 ] A = \begin{bmatrix} -1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 2 \end{bmatrix} A = ⎣ ⎡ − 1 0 1 2 1 0 1 1 2 ⎦ ⎤
Form the augmented matrix [ A ∣ I ] \left[ \begin{array}{lll}A & | & I\\ \end{array} \right] [ A ∣ I ]
[ − 1 2 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 2 0 0 1 ] \begin{bmatrix} -1 & 2 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 2 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} ⎣ ⎡ − 1 0 1 2 1 0 1 1 2 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ⎦ ⎤ [ − 1 2 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 2 0 0 1 ] → R 3 + R 1 [ − 1 2 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 2 3 1 0 1 ] \begin{bmatrix} -1 & 2 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 2 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \xrightarrow{R_3 + R_1} \begin{bmatrix} -1 & 2 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 3 & 1 & 0 & 1 \end{bmatrix} ⎣ ⎡ − 1 0 1 2 1 0 1 1 2 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ⎦ ⎤ R 3 + R 1 ⎣ ⎡ − 1 0 0 2 1 2 1 1 3 1 0 1 0 1 0 0 0 1 ⎦ ⎤ [ − 1 2 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 2 3 1 0 1 ] → ( − 1 ) ⋅ R 1 [ 1 − 2 − 1 − 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 2 3 1 0 1 ] \begin{bmatrix} -1 & 2 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 3 & 1 & 0 & 1 \end{bmatrix} \xrightarrow{(-1) \cdot R_1} \begin{bmatrix} 1 & -2 & -1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 3 & 1 & 0 & 1 \end{bmatrix} ⎣ ⎡ − 1 0 0 2 1 2 1 1 3 1 0 1 0 1 0 0 0 1 ⎦ ⎤ ( − 1 ) ⋅ R 1 ⎣ ⎡ 1 0 0 − 2 1 2 − 1 1 3 − 1 0 1 0 1 0 0 0 1 ⎦ ⎤ [ 1 − 2 − 1 − 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 2 3 1 0 1 ] → R 1 + ( 2 ) R 2 [ 1 0 1 − 1 2 0 0 1 1 0 1 0 0 2 3 1 0 1 ] \begin{bmatrix} 1 & -2 & -1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 3 & 1 & 0 & 1 \end{bmatrix} \xrightarrow{R_1 + (2)R_2} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & -1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 3 & 1 & 0 & 1 \end{bmatrix} ⎣ ⎡ 1 0 0 − 2 1 2 − 1 1 3 − 1 0 1 0 1 0 0 0 1 ⎦ ⎤ R 1 + ( 2 ) R 2 ⎣ ⎡ 1 0 0 0 1 2 1 1 3 − 1 0 1 2 1 0 0 0 1 ⎦ ⎤ [ 1 0 1 − 1 2 0 0 1 1 0 1 0 0 2 3 1 0 1 ] → R 3 − ( 2 ) R 2 [ 1 0 1 − 1 2 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 − 2 1 ] \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & -1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 3 & 1 & 0 & 1 \end{bmatrix} \xrightarrow{R_3 - (2)R_2} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & -1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & -2 & 1 \end{bmatrix} ⎣ ⎡ 1 0 0 0 1 2 1 1 3 − 1 0 1 2 1 0 0 0 1 ⎦ ⎤ R 3 − ( 2 ) R 2 ⎣ ⎡ 1 0 0 0 1 0 1 1 1 − 1 0 1 2 1 − 2 0 0 1 ⎦ ⎤ [ 1 0 1 − 1 2 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 − 2 1 ] → R 1 − R 3 [ 1 0 0 − 2 4 − 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 − 2 1 ] \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & -1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & -2 & 1 \end{bmatrix} \xrightarrow{R_1 - R_3} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & -2 & 4 & -1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & -2 & 1 \end{bmatrix} ⎣ ⎡ 1 0 0 0 1 0 1 1 1 − 1 0 1 2 1 − 2 0 0 1 ⎦ ⎤ R 1 − R 3 ⎣ ⎡ 1 0 0 0 1 0 0 1 1 − 2 0 1 4 1 − 2 − 1 0 1 ⎦ ⎤ [ 1 0 0 − 2 4 − 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 − 2 1 ] → R 2 − R 3 [ 1 0 0 − 2 4 − 1 0 1 0 − 1 3 − 1 0 0 1 1 − 2 1 ] \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & -2 & 4 & -1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & -2 & 1 \end{bmatrix} \xrightarrow{R_2 - R_3} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & -2 & 4 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & -1 & 3 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & -2 & 1 \end{bmatrix} ⎣ ⎡ 1 0 0 0 1 0 0 1 1 − 2 0 1 4 1 − 2 − 1 0 1 ⎦ ⎤ R 2 − R 3 ⎣ ⎡ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 − 2 − 1 1 4 3 − 2 − 1 − 1 1 ⎦ ⎤
As can be seen, we have obtained the identity matrix to the left. So, we are done.
A − 1 = [ − 2 4 − 1 − 1 3 − 1 1 − 2 1 ] A^{-1} = \begin{bmatrix} -2 & 4 & -1 \\ -1 & 3 & -1 \\ 1 & -2 & 1 \end{bmatrix} A − 1 = ⎣ ⎡ − 2 − 1 1 4 3 − 2 − 1 − 1 1 ⎦ ⎤
Indeed,
A A − 1 = [ − 1 2 1 0 1 1 1 0 2 ] ⋅ [ − 2 4 − 1 − 1 3 − 1 1 − 2 1 ] = [ − 1 ( − 2 ) + 2 ( − 1 ) + 1 ( 1 ) − 1 ( 4 ) + 2 ( 3 ) + 1 ( − 2 ) − 1 ( − 1 ) + 2 ( − 1 ) + 1 ( 1 ) 0 ( − 2 ) + 1 ( − 1 ) + 1 ( 1 ) 0 ( 4 ) + 1 ( 3 ) + 1 ( − 2 ) 0 ( − 1 ) + 1 ( − 1 ) + 1 ( 1 ) 1 ( − 2 ) + 0 ( − 1 ) + 2 ( 1 ) 1 ( 4 ) + 0 ( 3 ) + 2 ( − 2 ) 1 ( − 1 ) + 0 ( − 1 ) + 2 ( 1 ) ] = [ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ] = I . \begin{array}{l}
A A ^ {- 1} = \left[ \begin{array}{ccc} - 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 2 \end{array} \right] \cdot \left[ \begin{array}{ccc} - 2 & 4 & - 1 \\ - 1 & 3 & - 1 \\ 1 & - 2 & 1 \end{array} \right] \\
= \left[ \begin{array}{cccc}
- 1 (- 2) + 2 (- 1) + 1 (1) & - 1 (4) + 2 (3) + 1 (- 2) & - 1 (- 1) + 2 (- 1) + 1 (1) \\
0 (- 2) + 1 (- 1) + 1 (1) & 0 (4) + 1 (3) + 1 (- 2) & 0 (- 1) + 1 (- 1) + 1 (1) \\
1 (- 2) + 0 (- 1) + 2 (1) & 1 (4) + 0 (3) + 2 (- 2) & 1 (- 1) + 0 (- 1) + 2 (1)
\end{array} \right] \\
= \left[ \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right] = I.
\end{array} A A − 1 = ⎣ ⎡ − 1 0 1 2 1 0 1 1 2 ⎦ ⎤ ⋅ ⎣ ⎡ − 2 − 1 1 4 3 − 2 − 1 − 1 1 ⎦ ⎤ = ⎣ ⎡ − 1 ( − 2 ) + 2 ( − 1 ) + 1 ( 1 ) 0 ( − 2 ) + 1 ( − 1 ) + 1 ( 1 ) 1 ( − 2 ) + 0 ( − 1 ) + 2 ( 1 ) − 1 ( 4 ) + 2 ( 3 ) + 1 ( − 2 ) 0 ( 4 ) + 1 ( 3 ) + 1 ( − 2 ) 1 ( 4 ) + 0 ( 3 ) + 2 ( − 2 ) − 1 ( − 1 ) + 2 ( − 1 ) + 1 ( 1 ) 0 ( − 1 ) + 1 ( − 1 ) + 1 ( 1 ) 1 ( − 1 ) + 0 ( − 1 ) + 2 ( 1 ) ⎦ ⎤ = ⎣ ⎡ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ⎦ ⎤ = I .
Answer:
A − 1 = [ − 2 4 − 1 − 1 3 − 1 1 − 2 1 ] . A ^ {- 1} = \left[ \begin{array}{ccc} - 2 & 4 & - 1 \\ - 1 & 3 & - 1 \\ 1 & - 2 & 1 \end{array} \right]. A − 1 = ⎣ ⎡ − 2 − 1 1 4 3 − 2 − 1 − 1 1 ⎦ ⎤ .
Answer provided by https://www.AssignmentExpert.com
#340153 on Dec 2023