Answer on Question #80854 – Math – Linear Algebra
Question
Find the orthogonal canonical reduction of the quadratic form x 2 + y 2 + z 2 − 2 x y − 2 x z − 2 y z x^2 + y^2 + z^2 - 2xy - 2xz - 2yz x 2 + y 2 + z 2 − 2 x y − 2 x z − 2 yz
Solution
f ( x , y , z ) = x 2 + y 2 + z 2 − 2 x y − 2 x z − 2 y z f(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2 - 2xy - 2xz - 2yz f ( x , y , z ) = x 2 + y 2 + z 2 − 2 x y − 2 x z − 2 yz
The matrix of the quadratic form is
A = ( 1 − 1 − 1 − 1 1 − 1 − 1 − 1 1 ) A = \begin{pmatrix}
1 & -1 & -1 \\
-1 & 1 & -1 \\
-1 & -1 & 1
\end{pmatrix} A = ⎝ ⎛ 1 − 1 − 1 − 1 1 − 1 − 1 − 1 1 ⎠ ⎞
The characteristic equation is
∣ 1 − λ − 1 − 1 − 1 1 − λ − 1 − 1 − 1 1 − λ ∣ = 0 \left| \begin{array}{ccc}
1 - \lambda & -1 & -1 \\
-1 & 1 - \lambda & -1 \\
-1 & -1 & 1 - \lambda
\end{array} \right| = 0 ∣ ∣ 1 − λ − 1 − 1 − 1 1 − λ − 1 − 1 − 1 1 − λ ∣ ∣ = 0
hence
( 1 − λ ) ( ( 1 − λ ) 2 − 1 ) + ( − 1 + λ − 1 ) − ( 1 + 1 − λ ) = 0 ( 1 − λ ) ( λ 2 − 2 λ ) − 4 + 2 λ = 0 ( λ − 2 ) 2 ( λ + 1 ) = 0 λ 1 = 2 , λ 2 = − 1. \begin{aligned}
(1 - \lambda) \big((1 - \lambda)^2 - 1\big) + (-1 + \lambda - 1) - (1 + 1 - \lambda) &= 0 \\
(1 - \lambda)(\lambda^2 - 2\lambda) - 4 + 2\lambda &= 0 \\
(\lambda - 2)^2(\lambda + 1) &= 0 \\
\lambda_1 &= 2, \lambda_2 = -1.
\end{aligned} ( 1 − λ ) ( ( 1 − λ ) 2 − 1 ) + ( − 1 + λ − 1 ) − ( 1 + 1 − λ ) ( 1 − λ ) ( λ 2 − 2 λ ) − 4 + 2 λ ( λ − 2 ) 2 ( λ + 1 ) λ 1 = 0 = 0 = 0 = 2 , λ 2 = − 1.
Thus, the orthogonal canonical reduction is
Q = ( x ′ y ′ z ′ 2 0 0 0 2 0 0 0 − 1 ) ( x ′ y ′ z ′ ) = 2 ( x ′ ) 2 + 2 ( y ′ ) 2 − ( z ′ ) 2 Q = \begin{pmatrix}
x' & y' & z' \\
2 & 0 & 0 \\
0 & 2 & 0 \\
0 & 0 & -1
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
x' \\
y' \\
z'
\end{pmatrix} = 2(x')^2 + 2(y')^2 - (z')^2 Q = ⎝ ⎛ x ′ 2 0 0 y ′ 0 2 0 z ′ 0 0 − 1 ⎠ ⎞ ⎝ ⎛ x ′ y ′ z ′ ⎠ ⎞ = 2 ( x ′ ) 2 + 2 ( y ′ ) 2 − ( z ′ ) 2
Find eigenvectors:
λ = 2 \lambda = 2 λ = 2 ( − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 ) ( x y z ) = 0 \begin{pmatrix}
-1 & -1 & -1 \\
-1 & -1 & -1 \\
-1 & -1 & -1
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
x \\
y \\
z
\end{pmatrix} = 0 ⎝ ⎛ − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 ⎠ ⎞ ⎝ ⎛ x y z ⎠ ⎞ = 0 x + y + z = 0 x + y + z = 0 x + y + z = 0
Orthogonal solutions to this equation are ( 1 − 1 0 ) \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} ⎝ ⎛ 1 − 1 0 ⎠ ⎞ ( 1 1 − 2 ) \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix} ⎝ ⎛ 1 1 − 2 ⎠ ⎞ 1 2 ( 1 − 1 0 ) \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} 2 1 ⎝ ⎛ 1 − 1 0 ⎠ ⎞ 1 6 ( 1 1 − 2 ) \frac{1}{\sqrt{6}} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix} 6 1 ⎝ ⎛ 1 1 − 2 ⎠ ⎞
λ = − 1 \lambda = -1 λ = − 1 ( 2 − 1 − 1 − 1 2 − 1 − 1 − 1 2 ) ( x y z ) = 0 \left( \begin{array}{ccc} 2 & -1 & -1 \\ -1 & 2 & -1 \\ -1 & -1 & 2 \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right) = 0 ⎝ ⎛ 2 − 1 − 1 − 1 2 − 1 − 1 − 1 2 ⎠ ⎞ ⎝ ⎛ x y z ⎠ ⎞ = 0 { 2 x − y − z = 0 − x + 2 y − z = 0 − x − y + 2 z = 0 { z = 2 x − y − x + 2 y − 2 x + y = 0 − x − y + 4 x − 2 y = 0 { z = 2 x − y y = x y = x \begin{array}{l}
\left\{
\begin{array}{l}
2x - y - z = 0 \\
-x + 2y - z = 0 \\
-x - y + 2z = 0
\end{array}
\right. \\
\left\{
\begin{array}{l}
z = 2x - y \\
-x + 2y - 2x + y = 0 \\
-x - y + 4x - 2y = 0
\end{array}
\right. \\
\left\{
\begin{array}{l}
z = 2x - y \\
y = x \\
y = x
\end{array}
\right.
\end{array} ⎩ ⎨ ⎧ 2 x − y − z = 0 − x + 2 y − z = 0 − x − y + 2 z = 0 ⎩ ⎨ ⎧ z = 2 x − y − x + 2 y − 2 x + y = 0 − x − y + 4 x − 2 y = 0 ⎩ ⎨ ⎧ z = 2 x − y y = x y = x
The normed solution is principal axis 1 3 ( 1 1 1 ) \frac{1}{\sqrt{3}} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} 3 1 ⎝ ⎛ 1 1 1 ⎠ ⎞
Answer provided by https://www.AssignmentExpert.com
#339914 on Dec 2023