Answer on Question #61896 – Math – Linear Algebra
Question
Let (x1, x2, x3) and (y1, y2, y3) represent the coordinates with respect to the bases
B1 = {(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)}, B2 = {(1,0,0),(0,1,2),(0,2,1)}.
If Q(X) = 2x21 + 2x1x2 - 2x2x3 + x22 + x23, find the representation of Q in terms of (y1, y2, y3).
Solution
Given bases:
B 1 : { x 1 = ⟨ 1 ; 0 ; 0 ⟩ x 2 = ⟨ 0 ; 1 ; 0 ⟩ x 3 = ⟨ 0 ; 0 ; 1 ⟩ B_1: \begin{cases}
x_1 = \langle 1; 0; 0 \rangle \\
x_2 = \langle 0; 1; 0 \rangle \\
x_3 = \langle 0; 0; 1 \rangle
\end{cases} B 1 : ⎩ ⎨ ⎧ x 1 = ⟨ 1 ; 0 ; 0 ⟩ x 2 = ⟨ 0 ; 1 ; 0 ⟩ x 3 = ⟨ 0 ; 0 ; 1 ⟩ B 2 : { y 1 = ⟨ 1 ; 0 ; 0 ⟩ y 2 = ⟨ 0 ; 1 ; 2 ⟩ y 3 = ⟨ 0 ; 2 ; 1 ⟩ B_2: \begin{cases}
y_1 = \langle 1; 0; 0 \rangle \\
y_2 = \langle 0; 1; 2 \rangle \\
y_3 = \langle 0; 2; 1 \rangle
\end{cases} B 2 : ⎩ ⎨ ⎧ y 1 = ⟨ 1 ; 0 ; 0 ⟩ y 2 = ⟨ 0 ; 1 ; 2 ⟩ y 3 = ⟨ 0 ; 2 ; 1 ⟩
and the following polynomial:
Q ( x ) = 2 x 1 2 + 2 x 1 x 2 − 2 x 2 x 3 + x 2 2 + x 3 2 , Q(x) = 2x_1^2 + 2x_1x_2 - 2x_2x_3 + x_2^2 + x_3^2, Q ( x ) = 2 x 1 2 + 2 x 1 x 2 − 2 x 2 x 3 + x 2 2 + x 3 2 ,
let's express variable "x" in terms of "y":
{ y 1 = x 1 y 2 = x 2 + 2 x 3 ⇒ R 3 ← R 2 − 2 R 3 y 3 = 2 x 2 + x 3 { y 1 = x 1 y 2 − 2 y 3 = − 3 x 2 ⇒ R 2 ← R 2 ÷ ( − 3 ) y 3 = 2 x 2 + x 3 { x 1 = y 1 x 2 = 2 3 y 3 − 1 3 y 2 2 x 2 + x 3 = y 3 \begin{cases}
y_1 = x_1 \\
y_2 = x_2 + 2x_3 \xRightarrow{R_3 \leftarrow R_2 - 2R_3} \\
y_3 = 2x_2 + x_3
\end{cases}
\begin{cases}
y_1 = x_1 \\
y_2 - 2y_3 = -3x_2 \xRightarrow{R_2 \leftarrow R_2 \div (-3)} \\
y_3 = 2x_2 + x_3
\end{cases}
\begin{cases}
x_1 = y_1 \\
x_2 = \frac{2}{3}y_3 - \frac{1}{3}y_2 \\
2x_2 + x_3 = y_3
\end{cases} ⎩ ⎨ ⎧ y 1 = x 1 y 2 = x 2 + 2 x 3 R 3 ← R 2 − 2 R 3 y 3 = 2 x 2 + x 3 ⎩ ⎨ ⎧ y 1 = x 1 y 2 − 2 y 3 = − 3 x 2 R 2 ← R 2 ÷ ( − 3 ) y 3 = 2 x 2 + x 3 ⎩ ⎨ ⎧ x 1 = y 1 x 2 = 3 2 y 3 − 3 1 y 2 2 x 2 + x 3 = y 3 → R 3 ← R 3 − 2 R 2 { x 1 = y 1 x 2 = 2 3 y 3 − 1 3 y 2 x 3 = y 3 − 4 3 y 3 + 2 3 y 2 ⇒ { x 1 = y 1 x 2 = 2 3 y 3 − 1 3 y 2 x 3 = 2 3 y 2 − 1 3 y 3 \xrightarrow{R_3 \leftarrow R_3 - 2R_2} \begin{cases}
x_1 = y_1 \\
x_2 = \frac{2}{3}y_3 - \frac{1}{3}y_2 \\
x_3 = y_3 - \frac{4}{3}y_3 + \frac{2}{3}y_2
\end{cases}
\Rightarrow \begin{cases}
x_1 = y_1 \\
x_2 = \frac{2}{3}y_3 - \frac{1}{3}y_2 \\
x_3 = \frac{2}{3}y_2 - \frac{1}{3}y_3
\end{cases} R 3 ← R 3 − 2 R 2 ⎩ ⎨ ⎧ x 1 = y 1 x 2 = 3 2 y 3 − 3 1 y 2 x 3 = y 3 − 3 4 y 3 + 3 2 y 2 ⇒ ⎩ ⎨ ⎧ x 1 = y 1 x 2 = 3 2 y 3 − 3 1 y 2 x 3 = 3 2 y 2 − 3 1 y 3 Method 1
Substituting expressions for x 1 , x 2 , x 3 x_1, x_2, x_3 x 1 , x 2 , x 3
Q ( x ) = 2 x 1 2 + 2 x 1 x 2 − 2 x 2 x 3 + x 2 2 + x 3 2 = 2 x 1 2 + 2 x 1 x 2 + ( x 2 − x 3 ) 2 = = 2 y 1 2 + 2 y 1 ( 2 3 y 3 − 1 3 y 2 ) + ( 2 3 y 3 − 1 3 y 2 − 2 3 y 2 + 1 3 y 3 ) 2 = 2 y 1 2 + 4 3 y 1 y 3 − 2 3 y 1 y 2 + ( y 3 − y 2 ) 2 = = 2 y 1 2 + 4 3 y 1 y 3 − 2 3 y 1 y 2 + y 2 2 − 2 y 2 y 3 + y 3 2 . \begin{aligned}
Q(x) &= 2x_1^2 + 2x_1x_2 - 2x_2x_3 + x_2^2 + x_3^2 = 2x_1^2 + 2x_1x_2 + (x_2 - x_3)^2 = \\
&= 2y_1^2 + 2y_1\left(\frac{2}{3}y_3 - \frac{1}{3}y_2\right) + \left(\frac{2}{3}y_3 - \frac{1}{3}y_2 - \frac{2}{3}y_2 + \frac{1}{3}y_3\right)^2 = 2y_1^2 + \frac{4}{3}y_1y_3 - \frac{2}{3}y_1y_2 + (y_3 - y_2)^2 = \\
&= 2y_1^2 + \frac{4}{3}y_1y_3 - \frac{2}{3}y_1y_2 + y_2^2 - 2y_2y_3 + y_3^2.
\end{aligned} Q ( x ) = 2 x 1 2 + 2 x 1 x 2 − 2 x 2 x 3 + x 2 2 + x 3 2 = 2 x 1 2 + 2 x 1 x 2 + ( x 2 − x 3 ) 2 = = 2 y 1 2 + 2 y 1 ( 3 2 y 3 − 3 1 y 2 ) + ( 3 2 y 3 − 3 1 y 2 − 3 2 y 2 + 3 1 y 3 ) 2 = 2 y 1 2 + 3 4 y 1 y 3 − 3 2 y 1 y 2 + ( y 3 − y 2 ) 2 = = 2 y 1 2 + 3 4 y 1 y 3 − 3 2 y 1 y 2 + y 2 2 − 2 y 2 y 3 + y 3 2 . Method 2
It follows from (2) that
x = U y , x = Uy, x = U y ,
where x = ( x 1 x 2 x 3 ) , U = ( 1 0 0 0 − 1 3 2 3 0 2 3 − 1 3 ) , y = ( y 1 y 2 y 3 ) . x = \left( \begin{array}{l}x_{1}\\ x_{2}\\ x_{3} \end{array} \right), U = \left( \begin{array}{ccc}1 & 0 & 0\\ 0 & -\frac{1}{3} & \frac{2}{3}\\ 0 & \frac{2}{3} & -\frac{1}{3} \end{array} \right), y = \left( \begin{array}{l}y_{1}\\ y_{2}\\ y_{3} \end{array} \right). x = ⎝ ⎛ x 1 x 2 x 3 ⎠ ⎞ , U = ⎝ ⎛ 1 0 0 0 − 3 1 3 2 0 3 2 − 3 1 ⎠ ⎞ , y = ⎝ ⎛ y 1 y 2 y 3 ⎠ ⎞ .
It follows from (1) that
Q ( x ) = x T A x = ( x 1 x 2 x 3 ) ( 2 1 0 1 1 − 1 0 − 1 1 ) ( x 1 x 2 x 3 ) , Q (x) = x ^ {T} A x = \left( \begin{array}{c c c} x _ {1} & x _ {2} & x _ {3} \end{array} \right) \left( \begin{array}{c c c} 2 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & - 1 \\ 0 & - 1 & 1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} x _ {1} \\ x _ {2} \\ x _ {3} \end{array} \right), Q ( x ) = x T A x = ( x 1 x 2 x 3 ) ⎝ ⎛ 2 1 0 1 1 − 1 0 − 1 1 ⎠ ⎞ ⎝ ⎛ x 1 x 2 x 3 ⎠ ⎞ ,
where x = ( x 1 x 2 x 3 ) , A = ( 2 1 0 1 1 − 1 0 − 1 1 ) . x = \left( \begin{array}{c}x_{1}\\ x_{2}\\ x_{3} \end{array} \right),A = \left( \begin{array}{ccc}2 & 1 & 0\\ 1 & 1 & -1\\ 0 & -1 & 1 \end{array} \right). x = ⎝ ⎛ x 1 x 2 x 3 ⎠ ⎞ , A = ⎝ ⎛ 2 1 0 1 1 − 1 0 − 1 1 ⎠ ⎞ .
Rewrite (4) using (3)
Q ( x ) = x T A x = ( U y ) T A ( U y ) = y T U T A U y = y T ( U T A U ) y = y T C y , Q (x) = x ^ {T} A x = (U y) ^ {T} A (U y) = y ^ {T} U ^ {T} A U y = y ^ {T} \left(U ^ {T} A U\right) y = y ^ {T} C y, Q ( x ) = x T A x = ( U y ) T A ( U y ) = y T U T A U y = y T ( U T A U ) y = y T C y ,
hence
C = U T A U = ( 1 0 0 0 − 1 3 2 3 0 2 3 − 1 3 ) T ( 2 1 0 1 1 − 1 0 − 1 1 ) ( 1 0 0 0 − 1 3 2 3 0 2 3 − 1 3 ) = = ( 1 0 0 0 − 1 3 2 3 0 2 3 − 1 3 ) ( 2 1 0 1 1 − 1 0 − 1 1 ) ( 1 0 0 0 − 1 3 2 3 0 2 3 − 1 3 ) = ( 2 1 0 − 1 3 − 1 1 2 3 1 − 1 ) ( 1 0 0 0 − 1 3 2 3 0 2 3 − 1 3 ) = = ( 2 − 1 / 3 2 / 3 − 1 / 3 1 − 1 2 / 3 − 1 1 ) ( 6 ) \begin{array}{l} C = U ^ {T} A U = \left( \begin{array}{c c c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & - \frac {1}{3} & \frac {2}{3} \\ 0 & \frac {2}{3} & - \frac {1}{3} \end{array} \right) ^ {T} \left( \begin{array}{c c c} 2 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & - 1 \\ 0 & - 1 & 1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{c c c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & - \frac {1}{3} & \frac {2}{3} \\ 0 & \frac {2}{3} & - \frac {1}{3} \end{array} \right) = \\ = \left( \begin{array}{c c c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & - \frac {1}{3} & \frac {2}{3} \\ 0 & \frac {2}{3} & - \frac {1}{3} \end{array} \right) \left( \begin{array}{c c c} 2 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & - 1 \\ 0 & - 1 & 1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{c c c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & - \frac {1}{3} & \frac {2}{3} \\ 0 & \frac {2}{3} & - \frac {1}{3} \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c c c} 2 & 1 & 0 \\ - \frac {1}{3} & - 1 & 1 \\ \frac {2}{3} & 1 & - 1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{c c c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & - \frac {1}{3} & \frac {2}{3} \\ 0 & \frac {2}{3} & - \frac {1}{3} \end{array} \right) = \\ = \left( \begin{array}{c c c} 2 & - 1 / 3 & 2 / 3 \\ - 1 / 3 & 1 & - 1 \\ 2 / 3 & - 1 & 1 \end{array} \right) \quad (6) \\ \end{array} C = U T A U = ⎝ ⎛ 1 0 0 0 − 3 1 3 2 0 3 2 − 3 1 ⎠ ⎞ T ⎝ ⎛ 2 1 0 1 1 − 1 0 − 1 1 ⎠ ⎞ ⎝ ⎛ 1 0 0 0 − 3 1 3 2 0 3 2 − 3 1 ⎠ ⎞ = = ⎝ ⎛ 1 0 0 0 − 3 1 3 2 0 3 2 − 3 1 ⎠ ⎞ ⎝ ⎛ 2 1 0 1 1 − 1 0 − 1 1 ⎠ ⎞ ⎝ ⎛ 1 0 0 0 − 3 1 3 2 0 3 2 − 3 1 ⎠ ⎞ = ⎝ ⎛ 2 − 3 1 3 2 1 − 1 1 0 1 − 1 ⎠ ⎞ ⎝ ⎛ 1 0 0 0 − 3 1 3 2 0 3 2 − 3 1 ⎠ ⎞ = = ⎝ ⎛ 2 − 1/3 2/3 − 1/3 1 − 1 2/3 − 1 1 ⎠ ⎞ ( 6 )
Substituting the expression for the matrix C C C
Q ( x ) = y T C y = ( y 1 y 2 y 3 ) ( 2 − 1 3 2 3 − 1 3 1 − 1 2 3 − 1 1 ) ( y 1 y 2 y 3 ) = = ( 2 y 1 − 1 3 y 2 + 2 3 y 3 − 1 3 y 1 + y 2 − y 3 2 3 y 1 − y 2 + y 3 ) ( y 1 y 2 ) = = 2 y 1 2 − 1 3 y 1 y 2 + 2 3 y 1 y 3 − 1 3 y 1 y 2 + y 2 2 − y 2 y 3 + 2 3 y 1 y 3 − y 2 y 3 + y 3 2 = = 2 y 1 2 − 2 3 y 1 y 2 + 4 3 y 1 y 3 − 2 y 2 y 3 + y 2 2 + y 3 2 = Q ~ ( y ) . \begin{array}{l} Q (x) = y ^ {T} C y = \left( \begin{array}{c c c} y _ {1} & y _ {2} & y _ {3} \end{array} \right) \left( \begin{array}{c c c} 2 & - \frac {1}{3} & \frac {2}{3} \\ - \frac {1}{3} & 1 & - 1 \\ \frac {2}{3} & - 1 & 1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} y _ {1} \\ y _ {2} \\ y _ {3} \end{array} \right) = \\ = \left(2 y _ {1} - \frac {1}{3} y _ {2} + \frac {2}{3} y _ {3} - \frac {1}{3} y _ {1} + y _ {2} - y _ {3} \frac {2}{3} y _ {1} - y _ {2} + y _ {3}\right) \binom {y _ {1}} {y _ {2}} = \\ = 2 y _ {1} ^ {2} - \frac {1}{3} y _ {1} y _ {2} + \frac {2}{3} y _ {1} y _ {3} - \frac {1}{3} y _ {1} y _ {2} + y _ {2} ^ {2} - y _ {2} y _ {3} + \frac {2}{3} y _ {1} y _ {3} - y _ {2} y _ {3} + y _ {3} ^ {2} = \\ = 2 y _ {1} ^ {2} - \frac {2}{3} y _ {1} y _ {2} + \frac {4}{3} y _ {1} y _ {3} - 2 y _ {2} y _ {3} + y _ {2} ^ {2} + y _ {3} ^ {2} = \tilde {Q} (y). \\ \end{array} Q ( x ) = y T C y = ( y 1 y 2 y 3 ) ⎝ ⎛ 2 − 3 1 3 2 − 3 1 1 − 1 3 2 − 1 1 ⎠ ⎞ ⎝ ⎛ y 1 y 2 y 3 ⎠ ⎞ = = ( 2 y 1 − 3 1 y 2 + 3 2 y 3 − 3 1 y 1 + y 2 − y 3 3 2 y 1 − y 2 + y 3 ) ( y 2 y 1 ) = = 2 y 1 2 − 3 1 y 1 y 2 + 3 2 y 1 y 3 − 3 1 y 1 y 2 + y 2 2 − y 2 y 3 + 3 2 y 1 y 3 − y 2 y 3 + y 3 2 = = 2 y 1 2 − 3 2 y 1 y 2 + 3 4 y 1 y 3 − 2 y 2 y 3 + y 2 2 + y 3 2 = Q ~ ( y ) .
Answer: Q ~ ( y ) = 2 y 1 2 − 2 3 y 1 y 2 + 4 3 y 1 y 3 − 2 y 2 y 3 + y 2 2 + y 3 2 . \tilde{Q} (y) = 2y_1^2 -\frac{2}{3} y_1y_2 + \frac{4}{3} y_1y_3 - 2y_2y_3 + y_2^2 +y_3^2. Q ~ ( y ) = 2 y 1 2 − 3 2 y 1 y 2 + 3 4 y 1 y 3 − 2 y 2 y 3 + y 2 2 + y 3 2 .
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