Answer on Question #43863 – Math – Linear Algebra
Solve the following matrix by Gaussian Model
1.) − 4 x + y = 3 -4x + y = 3 − 4 x + y = 3
3 x − 5 y = 0 3x - 5y = 0 3 x − 5 y = 0
2.) 3 x + 4 y + 5 z = − 9 3x + 4y + 5z = -9 3 x + 4 y + 5 z = − 9
2 x − 3 y + 3 z = − 1 2x - 3y + 3z = -1 2 x − 3 y + 3 z = − 1 x + 2 y − 4 z = − 15 x + 2y - 4z = -15 x + 2 y − 4 z = − 15
Solution.
1. { − 4 x + y = 3 3 x − 5 y = 0 \begin{cases} -4x + y = 3 \\ 3x - 5y = 0 \end{cases} { − 4 x + y = 3 3 x − 5 y = 0
We write the extended system matrix
[ − 4 1 3 − 5 ] [ 3 0 ] ∼ [ − 12 3 12 − 20 ] [ 9 0 ] ∼ [ 0 − 17 3 − 5 ] [ 9 0 ] \left[ \begin{array}{cc} -4 & 1 \\ 3 & -5 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{cc} 3 \\ 0 \end{array} \right] \sim \left[ \begin{array}{cc} -12 & 3 \\ 12 & -20 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} 9 \\ 0 \end{array} \right] \sim \left[ \begin{array}{cc} 0 & -17 \\ 3 & -5 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} 9 \\ 0 \end{array} \right] [ − 4 3 1 − 5 ] [ 3 0 ] ∼ [ − 12 12 3 − 20 ] [ 9 0 ] ∼ [ 0 3 − 17 − 5 ] [ 9 0 ]
From first row we get y = − 9 17 y = -\frac{9}{17} y = − 17 9 3 x + 5 ∗ 9 17 = 0 3x + 5 * \frac{9}{17} = 0 3 x + 5 ∗ 17 9 = 0 x = − 15 17 x = -\frac{15}{17} x = − 17 15
Answer. x = − 15 17 , y = − 9 17 x = -\frac{15}{17}, y = -\frac{9}{17} x = − 17 15 , y = − 17 9
2.) { 3 x + 4 y + 5 z = − 9 2 x − 3 y + 3 z = − 1 x + 2 y − 4 z = − 15 \begin{cases} 3x + 4y + 5z = -9 \\ 2x - 3y + 3z = -1 \\ x + 2y - 4z = -15 \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧ 3 x + 4 y + 5 z = − 9 2 x − 3 y + 3 z = − 1 x + 2 y − 4 z = − 15
We write the extended system matrix
[ 3 4 5 − 9 2 − 3 3 − 1 1 2 − 4 − 15 ] ∼ [ 1 2 − 4 − 15 2 − 3 3 − 1 3 4 5 − 9 ] ∼ [ 1 2 − 4 − 15 0 7 − 11 − 29 0 2 − 17 − 36 ] ∼ [ 1 2 − 4 − 15 0 2 − 17 − 36 0 7 − 11 − 29 ] ∼ [ 1 2 − 4 − 15 0 2 − 4 − 15 0 14 − 119 − 252 0 0 − 97 − 194 ] ∼ [ 1 2 − 4 − 15 0 14 0 − 14 0 0 1 2 ] ∼ [ 1 2 − 4 − 15 0 1 0 − 13 0 0 1 2 ] ∼ [ 1 0 − 4 − 13 0 1 0 − 1 0 0 1 2 ] \begin{bmatrix}
3 & 4 & 5 & -9 \\
2 & -3 & 3 & -1 \\
1 & 2 & -4 & -15
\end{bmatrix}
\sim
\begin{bmatrix}
1 & 2 & -4 & -15 \\
2 & -3 & 3 & -1 \\
3 & 4 & 5 & -9
\end{bmatrix}
\sim
\begin{bmatrix}
1 & 2 & -4 & -15 \\
0 & 7 & -11 & -29 \\
0 & 2 & -17 & -36
\end{bmatrix}
\sim
\begin{bmatrix}
1 & 2 & -4 & -15 \\
0 & 2 & -17 & -36 \\
0 & 7 & -11 & -29
\end{bmatrix}
\sim
\begin{bmatrix}
1 & 2 & -4 & -15 \\
0 & 2 & -4 & -15 \\
0 & 14 & -119 & -252 \\
0 & 0 & -97 & -194
\end{bmatrix}
\sim
\begin{bmatrix}
1 & 2 & -4 & -15 \\
0 & 14 & 0 & -14 \\
0 & 0 & 1 & 2
\end{bmatrix}
\sim
\begin{bmatrix}
1 & 2 & -4 & -15 \\
0 & 1 & 0 & -13 \\
0 & 0 & 1 & 2
\end{bmatrix}
\sim
\begin{bmatrix}
1 & 0 & -4 & -13 \\
0 & 1 & 0 & -1 \\
0 & 0 & 1 & 2
\end{bmatrix} ⎣ ⎡ 3 2 1 4 − 3 2 5 3 − 4 − 9 − 1 − 15 ⎦ ⎤ ∼ ⎣ ⎡ 1 2 3 2 − 3 4 − 4 3 5 − 15 − 1 − 9 ⎦ ⎤ ∼ ⎣ ⎡ 1 0 0 2 7 2 − 4 − 11 − 17 − 15 − 29 − 36 ⎦ ⎤ ∼ ⎣ ⎡ 1 0 0 2 2 7 − 4 − 17 − 11 − 15 − 36 − 29 ⎦ ⎤ ∼ ⎣ ⎡ 1 0 0 0 2 2 14 0 − 4 − 4 − 119 − 97 − 15 − 15 − 252 − 194 ⎦ ⎤ ∼ ⎣ ⎡ 1 0 0 2 14 0 − 4 0 1 − 15 − 14 2 ⎦ ⎤ ∼ ⎣ ⎡ 1 0 0 2 1 0 − 4 0 1 − 15 − 13 2 ⎦ ⎤ ∼ ⎣ ⎡ 1 0 0 0 1 0 − 4 0 1 − 13 − 1 2 ⎦ ⎤
So the result is x = − 5 , y = − 1 x = -5, y = -1 x = − 5 , y = − 1 z = 2 z = 2 z = 2
Answer. x = − 5 , y = − 1 , z = 2 x = -5, y = -1, z = 2 x = − 5 , y = − 1 , z = 2
www.AssignmentExpert.com
#339914 on Dec 2023