Let A = [ 1 4 3 − 1 − 2 0 2 2 − 2 ] A=\begin{bmatrix}
1&4&3 \\
-1&-2&0\\
2&2&-2
\end{bmatrix} A = ⎣ ⎡ 1 − 1 2 4 − 2 2 3 0 − 2 ⎦ ⎤
Solution:
(a)Find the inverse of A:
(I)inverion algorithm
[ 1 4 3 ∣ 1 0 0 − 1 − 2 0 ∣ 0 1 0 2 2 − 2 ∣ 0 0 1 ] \begin{bmatrix}
1&4&3|1&0&0 \\
-1&-2&0|0&1&0\\
2&2&-2|0&0&1
\end{bmatrix} ⎣ ⎡ 1 − 1 2 4 − 2 2 3∣1 0∣0 − 2∣0 0 1 0 0 0 1 ⎦ ⎤
[ 1 4 3 ∣ 1 0 0 0 2 3 ∣ 0 1 0 0 − 6 − 8 ∣ − 2 0 1 ] \begin{bmatrix}
1&4& 3|1&0&0\\
0&2&3|0&1&0\\
0&-6&-8|-2&0&1
\end{bmatrix} ⎣ ⎡ 1 0 0 4 2 − 6 3∣1 3∣0 − 8∣ − 2 0 1 0 0 0 1 ⎦ ⎤
Thus
[ 1 4 3 ∣ 1 0 0 0 1 1.5 ∣ 0.5 0.5 0 0 − 6 − 8 ∣ − 2 0 1 ] \begin{bmatrix}
1&4&3|1&0&0 \\
0&1&1.5|0.5&0.5&0\\
0&-6&-8|-2&0&1
\end{bmatrix} ⎣ ⎡ 1 0 0 4 1 − 6 3∣1 1.5∣0.5 − 8∣ − 2 0 0.5 0 0 0 1 ⎦ ⎤
[ 1 0 − 3 ∣ − 1 − 2 0 0 1 1.5 ∣ 0.5 0.5 0 0 0 1 ∣ 1 3 1 ] \begin{bmatrix}
1&0&-3|-1&-2&0 \\
0&1&1.5|0.5&0.5&0\\
0&0&1|1&3&1
\end{bmatrix} ⎣ ⎡ 1 0 0 0 1 0 − 3∣ − 1 1.5∣0.5 1∣1 − 2 0.5 3 0 0 1 ⎦ ⎤
[ 1 0 0 ∣ 2 7 3 0 1 0 ∣ − 1 − 4 − 1.5 0 0 1 ∣ 1 3 1 ] \begin{bmatrix}
1&0&0|2&7&3 \\
0&1&0|-1&-4&-1.5\\
0&0&1|1&3&1
\end{bmatrix} ⎣ ⎡ 1 0 0 0 1 0 0∣2 0∣ − 1 1∣1 7 − 4 3 3 − 1.5 1 ⎦ ⎤
Anser:
A − 1 = [ 2 7 3 − 1 − 4 − 1.5 1 3 1 ] A^{-1}=\begin{bmatrix}
2&7&3 \\
-1&-4&-1.5\\
1&3&1
\end{bmatrix} A − 1 = ⎣ ⎡ 2 − 1 1 7 − 4 3 3 − 1.5 1 ⎦ ⎤
(II)adjoin method
Thus we have d e t ( A ) = 2 ≠ 0 , det(A)=2\not=0, d e t ( A ) = 2 = 0 , A A A
To find the inverse using the formula, we first determine the confactors C i j o f A . C_{ij}\space of\space A. C ij o f A .
We have
C 11 = 4 , C 12 = − 2 , C 13 = 2 , C_{11}=4,C_{12}=-2,C_{13}=2, C 11 = 4 , C 12 = − 2 , C 13 = 2 ,
C 21 = 14 , C 22 = − 8 , C 23 = 6 , C_{21}=14,C_{22}=-8,C_{23}=6, C 21 = 14 , C 22 = − 8 , C 23 = 6 ,
C 13 = 6 , C 32 = − 3 , C 33 = 2. C_{13}=6,C_{32}=-3,C_{33}=2. C 13 = 6 , C 32 = − 3 , C 33 = 2.
The adjoin matrix of A A A
A d j ( A ) = C T = [ 4 14 6 − 2 − 8 − 3 2 6 2 ] Adj(A)=C^T=\begin{bmatrix}
4&14&6 \\
-2&-8&-3\\
2&6&2
\end{bmatrix} A d j ( A ) = C T = ⎣ ⎡ 4 − 2 2 14 − 8 6 6 − 3 2 ⎦ ⎤
A − 1 = 1 d e t ( A ) A d j ( A ) = [ 2 7 3 − 1 − 4 − 1.5 1 3 1 ] A^{-1}=\frac{1}{det(A)}Adj(A)=\begin{bmatrix}
2&7&3 \\
-1&-4&-1.5\\
1&3&1
\end{bmatrix} A − 1 = d e t ( A ) 1 A d j ( A ) = ⎣ ⎡ 2 − 1 1 7 − 4 3 3 − 1.5 1 ⎦ ⎤
(b)Use matrix method to solve each of the folloing
linear systems:
(I) { x 1 + 4 x 2 + 3 x 3 = 3 , − x 1 − x 2 + x 3 = 5 , − 3 x 1 − 6 x 2 = 2. \begin{cases}
x_1+4x_2+3x_3=3, \\
-x_1-x_2+x_3=5,\\
-3x_1-6x_2=2.
\end{cases} ⎩ ⎨ ⎧ x 1 + 4 x 2 + 3 x 3 = 3 , − x 1 − x 2 + x 3 = 5 , − 3 x 1 − 6 x 2 = 2.
A = [ 1 4 3 − 1 − 1 1 − 3 − 6 0 ] , d = [ 3 5 2 ] A=\begin{bmatrix}
1&4&3 \\
-1&-1&1\\
-3&-6&0
\end{bmatrix},d=\begin{bmatrix}
3\\
5\\
2
\end{bmatrix} A = ⎣ ⎡ 1 − 1 − 3 4 − 1 − 6 3 1 0 ⎦ ⎤ , d = ⎣ ⎡ 3 5 2 ⎦ ⎤
A − 1 = [ 2 − 6 7 3 − 1 3 − 4 3 1 − 2 1 ] A^{-1}=\begin{bmatrix}
2&-6&\frac{7}{3} \\
-1&3&-\frac{4}{3}\\
1&-2&1
\end{bmatrix} A − 1 = ⎣ ⎡ 2 − 1 1 − 6 3 − 2 3 7 − 3 4 1 ⎦ ⎤
[ x 1 x 2 x 3 ] = A − 1 ∗ d = [ − 58 3 28 3 − 5 ] \begin{bmatrix}
x_1 \\
x_2\\
x_3
\end{bmatrix}=A^{-1}*d=\begin{bmatrix}
-\frac{58}{3} \\
\frac{28}{3}\\
-5
\end{bmatrix} ⎣ ⎡ x 1 x 2 x 3 ⎦ ⎤ = A − 1 ∗ d = ⎣ ⎡ − 3 58 3 28 − 5 ⎦ ⎤
x 1 = − 58 3 , x 2 = 28 3 , x 3 = − 5. x_1=-\frac{58}{3},x_2=\frac{28}{3},x_3=-5. x 1 = − 3 58 , x 2 = 3 28 , x 3 = − 5.
(II) { 3 x 1 + 4 x 2 + x 3 = − 5 , − 2 x 2 − x 3 = 3 , − 2 x 1 + 2 x 2 + 2 x 3 = − 1. \begin{cases}
3x_1+4x_2+x_3=-5, \\
-2x_2-x_3=3,\\
-2x_1+2x_2+2x_3=-1.
\end{cases} ⎩ ⎨ ⎧ 3 x 1 + 4 x 2 + x 3 = − 5 , − 2 x 2 − x 3 = 3 , − 2 x 1 + 2 x 2 + 2 x 3 = − 1.
A = [ 3 4 1 0 − 2 − 1 − 2 2 2 ] , d = [ − 5 3 − 1 ] A=\begin{bmatrix}
3&4&1 \\
0&-2&-1\\
-2&2&2
\end{bmatrix},d=\begin{bmatrix}
-5 \\
3\\
-1
\end{bmatrix} A = ⎣ ⎡ 3 0 − 2 4 − 2 2 1 − 1 2 ⎦ ⎤ , d = ⎣ ⎡ − 5 3 − 1 ⎦ ⎤
x = A − 1 ∗ d ; x=A^{-1}*d; x = A − 1 ∗ d ;
A − 1 = [ 1 3 1 − 1 − 4 − 1.5 2 7 3 ] A^{-1}=\begin{bmatrix}
1&3&1 \\
-1&-4&-1.5\\
2&7&3
\end{bmatrix} A − 1 = ⎣ ⎡ 1 − 1 2 3 − 4 7 1 − 1.5 3 ⎦ ⎤
[ x 1 x 2 x 3 ] = A − 1 ∗ d = \begin{bmatrix}
x_1 \\
x_2\\
x_3
\end{bmatrix}=A^{-1}*d= ⎣ ⎡ x 1 x 2 x 3 ⎦ ⎤ = A − 1 ∗ d =
[ 1 3 1 − 1 − 4 − 1.5 2 7 3 ] ∗ [ − 5 3 − 1 ] = [ 3 − 5.5 8 ] \begin{bmatrix}
1&3&1\\
-1&-4&-1.5\\
2&7&3
\end{bmatrix}*\begin{bmatrix}
-5 \\
3\\
-1
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
3 \\
-5.5\\
8
\end{bmatrix} ⎣ ⎡ 1 − 1 2 3 − 4 7 1 − 1.5 3 ⎦ ⎤ ∗ ⎣ ⎡ − 5 3 − 1 ⎦ ⎤ = ⎣ ⎡ 3 − 5.5 8 ⎦ ⎤
Answer:
x 1 = 3 , x 2 = − 5.5 , x 3 = 8. x_1=3,x_2=-5.5,x_3=8. x 1 = 3 , x 2 = − 5.5 , x 3 = 8.
(c)Use Cramer's rule to solve the system of linear
equation in (b) (I)
A = [ 1 4 3 − 1 − 1 1 − 3 − 6 0 ] , d = [ 3 5 2 ] A=\begin{bmatrix}
1&4&3\\
-1&-1&1\\
-3&-6&0
\end{bmatrix},d=\begin{bmatrix}
3 \\
5\\
2
\end{bmatrix} A = ⎣ ⎡ 1 − 1 − 3 4 − 1 − 6 3 1 0 ⎦ ⎤ , d = ⎣ ⎡ 3 5 2 ⎦ ⎤
D = ∣ 1 4 3 − 1 − 1 1 − 3 − 6 0 ∣ = 3 D=\begin{vmatrix}
1&4&3 \\
-1&-1&1\\
-3&-6&0
\end{vmatrix}=3 D = ∣ ∣ 1 − 1 − 3 4 − 1 − 6 3 1 0 ∣ ∣ = 3
D x 1 = ∣ 3 4 3 5 − 1 1 2 − 6 0 ∣ = − 58 D_{x_1}=\begin{vmatrix}
3&4&3 \\
5&-1&1\\
2&-6&0
\end{vmatrix}=-58 D x 1 = ∣ ∣ 3 5 2 4 − 1 − 6 3 1 0 ∣ ∣ = − 58
D x 2 = ∣ 1 3 3 − 1 5 1 − 3 2 0 ∣ = 28 D_{x_2}=\begin{vmatrix}
1&3&3 \\
-1&5&1\\
-3&2&0
\end{vmatrix}=28 D x 2 = ∣ ∣ 1 − 1 − 3 3 5 2 3 1 0 ∣ ∣ = 28
D x 3 = ∣ 1 4 3 − 1 − 1 5 − 6 − 6 2 ∣ = − 15 D_{x_3}=\begin{vmatrix}
1&4&3\\
-1&-1&5\\
-6&-6&2
\end{vmatrix}=-15 D x 3 = ∣ ∣ 1 − 1 − 6 4 − 1 − 6 3 5 2 ∣ ∣ = − 15
x 1 = D x 1 D = − 58 3 , x_1=\frac{D_{x_1}}{D}=\frac{-58}{3}, x 1 = D D x 1 = 3 − 58 ,
x 2 = D x 2 D = 28 3 , x_2=\frac{D_{x_2}}{D}=\frac{28}{3}, x 2 = D D x 2 = 3 28 ,
x 3 = D x 3 D = − 15 5 = − 5. x_3=\frac{D_{x_3}}{D}=\frac{-15}{5}=-5. x 3 = D D x 3 = 5 − 15 = − 5.
(d)Find d e t ( a d j ( A ) ) det(adj(A)) d e t ( a d j ( A ))
a d j ( A ) = [ 4 14 6 − 2 − 8 − 3 2 6 − 2 ] adj(A)=\begin{bmatrix}
4&14&6 \\
-2&-8&-3\\
2&6&-2
\end{bmatrix} a d j ( A ) = ⎣ ⎡ 4 − 2 2 14 − 8 6 6 − 3 − 2 ⎦ ⎤
d e t ( a d j ( A ) ) = 4 det(adj(A))=4 d e t ( a d j ( A )) = 4
(e)Use result of (a) to find a d j ( ( R + 2 ) A T ) , R = 4 adj((R+2)A^T),R=4 a d j (( R + 2 ) A T ) , R = 4
A T = [ 1 − 1 2 4 − 2 2 3 0 − 2 ] ∗ 6 = [ 6 − 6 12 24 − 12 12 18 0 − 12 ] A^T=\begin{bmatrix}
1&-1&2 \\
4&-2&2\\
3&0&-2
\end{bmatrix}*6=\begin{bmatrix}
6&-6&12 \\
24&-12&12\\
18&0&-12
\end{bmatrix} A T = ⎣ ⎡ 1 4 3 − 1 − 2 0 2 2 − 2 ⎦ ⎤ ∗ 6 = ⎣ ⎡ 6 24 18 − 6 − 12 0 12 12 − 12 ⎦ ⎤
a d j ( ( R + 2 ) A T ) = [ 144 − 72 72 504 − 288 216 216 − 108 72 ] adj((R+2)A^T)=\begin{bmatrix}
144&-72&72\\
504&-288&216\\
216&-108&72
\end{bmatrix} a d j (( R + 2 ) A T ) = ⎣ ⎡ 144 504 216 − 72 − 288 − 108 72 216 72 ⎦ ⎤
#339914 on Dec 2023
Comments