Answer to Question #105189 in Linear Algebra for 888

Question

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the digit number R is 4

Answer 1

4a)

$A=\begin{bmatrix} k-1 & -1&-2k \\ -k & 2k&2-k\\ k&-k&1 \end{bmatrix}$

$|A|\neq0\\ |A|=\begin{vmatrix} k-1 & -1&-2k \\ -k & 2k&2-k\\ k&-k&1\end{vmatrix}=\\ =(k-1)\cdot2k\cdot1+(-1)\cdot(2-k)\cdot k+\\ +(-k)\cdot(-k)\cdot(-2k)-(-2k)\cdot2k\cdot k-\\ -(-1)\cdot(-k)\cdot1-(k-1)\cdot(2-k)\cdot(-k)=\\ =2k^2-2k-2k+k^2-2k^3+4k^3-k+\\ +2k^2-k^3-2k+k^2=k^3+6k^2-7k\\ k^3+6k^2-7k\neq0\\ k(k^2+6k-7)\neq0\\ k_1\neq0\\ k^2+6k-7\neq0\\ (k^2+6k-7=0\\ k_2+k_3=-6\\ k_2\cdot k_3=-7\\ k_2=-7, k_3=1)\\ k_2\neq-7\\ k_3\neq1$

The matrix $A$ is non-singular if $k\neq0, k\neq1, k\neq-7$ .

4b)

$A=\begin{bmatrix} 1 & 1&0&2 \\ 3 & 3&1&k\\ 2&3&1&5\\ 2&0&k&-5 \end{bmatrix}$

$|A|\neq0\\ |A|=\begin{vmatrix} 1 & 1&0&2 \\ 3 & 3&1&k\\ 2&3&1&5\\ 2&0&k&-5 \end{vmatrix}$

IIrow +Irow(-3)

IIIrow +Irow(-2)

IVrow +Irow(--2)

$|A|=\begin{vmatrix} 1 & 1&0&2 \\ 0 & 0&1&k-6\\ 0&1&1&1\\ 0&-2&k&-9 \end{vmatrix}$

IIIrow $\iff$ IIrow

$|A|=\begin{vmatrix} 1 & 1&0&2 \\ 0 & 1&1&1\\ 0&0&1&k-6\\ 0&-2&k&-9 \end{vmatrix}$

IVrow+IIrow(2)

$|A|=\begin{vmatrix} 1 & 1&0&2 \\ 0 & 1&1&1\\ 0&0&1&k-6\\ 0&0&k+2&-7 \end{vmatrix}$

IVrow+IIIrow(-k-2)

$|A|=\begin{vmatrix} 1 & 1&0&2 \\ 0 & 1&1&1\\ 0&0&1&k-6\\ 0&0&0&-k^2+4k+5 \end{vmatrix}=\\ 1\cdot1\cdot1\cdot(-k^2+4k+5)=-k^2+4k+5\neq0$

$k^2-4k-5\neq0\\ (k^2-4k-5=0\\ k_1+k_2=4\\ k_1\cdot k_2=-5\\ k_1=5, k_2=-1)\\ k_1\neq5, k_2\neq-1$

The matrix A

A is non-singular if $k\neq5, k\neq-1$

5a)

$|B|=\begin{vmatrix} 1 & pq &r^2\\ 1 & qr&p^2\\ 1&pr&q^2 \end{vmatrix}$

IIrow+Irow(-1)

IIIrow+Irow(-1)

$|B|=\begin{vmatrix} 1 & pq &r^2\\ 0 & qr-pq&p^2-r^2\\ 0&pr-pq&q^2-r^2 \end{vmatrix}=\\ =\begin{vmatrix} 1 & pq &r^2\\ 0 & -q(p-r)&(p-r)(p+r)\\ 0&-p(q-r)&(q-r)(q+r) \end{vmatrix}=\\ =(p-r)(q-r)\begin{vmatrix} 1 & pq &r^2\\ 0 & -q&p+r\\ 0&-p&q+r \end{vmatrix}$

IIIrow+IIrow(-1)

$|B|=(p-r)(q-r)\begin{vmatrix} 1 & pq &r^2\\ 0 & -q&p+r\\ 0&-p+q&q-p \end{vmatrix}=\\ =(p-r)(q-r)(q-p)\begin{vmatrix} 1 & pq &r^2\\ 0 & -q&p+r\\ 0&1&1 \end{vmatrix}$

IIIrow $\iff$ IIrow

$|B|=-(p-r)(q-r)(q-p)\begin{vmatrix} 1 & pq &r^2\\ 0&1&1 \\ 0 & -q&p+r\\ \end{vmatrix}$

IIIrow+IIrow(q)

$|B|=(p-r)(q-r)(p-q)\begin{vmatrix} 1 & pq &r^2\\ 0 & 1&1\\ 0&0&p+r+q \end{vmatrix}=\\ =(p-r)(q-r)(p-q)(p+r+q)$

5b)

$|C|=\begin{vmatrix} 1 & (R+1)x&(R+3)^2 \\ 1 & (R+3)x&(R+1)^2\\ 1&(R+1)(R+3)&x^2 \end{vmatrix}$

In our case

$p=R+1=4+1=5\\ q=x\\ r=R+3=4+3=7$

$|C|=(p-q)(q-r)(p-r)(p+q+r)=\\ =(5-x)(x-7)(5-7)(5+x+7)=\\ =-2(5x-35-x^2+7x)(12+x)=\\ =-2(-x^2+12x-35)(12+x)=\\ =-2(-x^3-109x-420)=2x^3+218x+840$