4a)
A = [ k − 1 − 1 − 2 k − k 2 k 2 − k k − k 1 ] A=\begin{bmatrix}
k-1 & -1&-2k \\
-k & 2k&2-k\\
k&-k&1
\end{bmatrix} A = ⎣ ⎡ k − 1 − k k − 1 2 k − k − 2 k 2 − k 1 ⎦ ⎤
∣ A ∣ ≠ 0 ∣ A ∣ = ∣ k − 1 − 1 − 2 k − k 2 k 2 − k k − k 1 ∣ = = ( k − 1 ) ⋅ 2 k ⋅ 1 + ( − 1 ) ⋅ ( 2 − k ) ⋅ k + + ( − k ) ⋅ ( − k ) ⋅ ( − 2 k ) − ( − 2 k ) ⋅ 2 k ⋅ k − − ( − 1 ) ⋅ ( − k ) ⋅ 1 − ( k − 1 ) ⋅ ( 2 − k ) ⋅ ( − k ) = = 2 k 2 − 2 k − 2 k + k 2 − 2 k 3 + 4 k 3 − k + + 2 k 2 − k 3 − 2 k + k 2 = k 3 + 6 k 2 − 7 k k 3 + 6 k 2 − 7 k ≠ 0 k ( k 2 + 6 k − 7 ) ≠ 0 k 1 ≠ 0 k 2 + 6 k − 7 ≠ 0 ( k 2 + 6 k − 7 = 0 k 2 + k 3 = − 6 k 2 ⋅ k 3 = − 7 k 2 = − 7 , k 3 = 1 ) k 2 ≠ − 7 k 3 ≠ 1 |A|\neq0\\
|A|=\begin{vmatrix}
k-1 & -1&-2k \\
-k & 2k&2-k\\
k&-k&1\end{vmatrix}=\\
=(k-1)\cdot2k\cdot1+(-1)\cdot(2-k)\cdot k+\\
+(-k)\cdot(-k)\cdot(-2k)-(-2k)\cdot2k\cdot k-\\
-(-1)\cdot(-k)\cdot1-(k-1)\cdot(2-k)\cdot(-k)=\\
=2k^2-2k-2k+k^2-2k^3+4k^3-k+\\
+2k^2-k^3-2k+k^2=k^3+6k^2-7k\\
k^3+6k^2-7k\neq0\\
k(k^2+6k-7)\neq0\\
k_1\neq0\\
k^2+6k-7\neq0\\
(k^2+6k-7=0\\
k_2+k_3=-6\\
k_2\cdot k_3=-7\\
k_2=-7, k_3=1)\\
k_2\neq-7\\
k_3\neq1 ∣ A ∣ = 0 ∣ A ∣ = ∣ ∣ k − 1 − k k − 1 2 k − k − 2 k 2 − k 1 ∣ ∣ = = ( k − 1 ) ⋅ 2 k ⋅ 1 + ( − 1 ) ⋅ ( 2 − k ) ⋅ k + + ( − k ) ⋅ ( − k ) ⋅ ( − 2 k ) − ( − 2 k ) ⋅ 2 k ⋅ k − − ( − 1 ) ⋅ ( − k ) ⋅ 1 − ( k − 1 ) ⋅ ( 2 − k ) ⋅ ( − k ) = = 2 k 2 − 2 k − 2 k + k 2 − 2 k 3 + 4 k 3 − k + + 2 k 2 − k 3 − 2 k + k 2 = k 3 + 6 k 2 − 7 k k 3 + 6 k 2 − 7 k = 0 k ( k 2 + 6 k − 7 ) = 0 k 1 = 0 k 2 + 6 k − 7 = 0 ( k 2 + 6 k − 7 = 0 k 2 + k 3 = − 6 k 2 ⋅ k 3 = − 7 k 2 = − 7 , k 3 = 1 ) k 2 = − 7 k 3 = 1
The matrix A A A k ≠ 0 , k ≠ 1 , k ≠ − 7 k\neq0, k\neq1, k\neq-7 k = 0 , k = 1 , k = − 7
4b)
A = [ 1 1 0 2 3 3 1 k 2 3 1 5 2 0 k − 5 ] A=\begin{bmatrix}
1 & 1&0&2 \\
3 & 3&1&k\\
2&3&1&5\\
2&0&k&-5
\end{bmatrix} A = ⎣ ⎡ 1 3 2 2 1 3 3 0 0 1 1 k 2 k 5 − 5 ⎦ ⎤
∣ A ∣ ≠ 0 ∣ A ∣ = ∣ 1 1 0 2 3 3 1 k 2 3 1 5 2 0 k − 5 ∣ |A|\neq0\\
|A|=\begin{vmatrix}
1 & 1&0&2 \\
3 & 3&1&k\\
2&3&1&5\\
2&0&k&-5
\end{vmatrix} ∣ A ∣ = 0 ∣ A ∣ = ∣ ∣ 1 3 2 2 1 3 3 0 0 1 1 k 2 k 5 − 5 ∣ ∣
IIrow +Irow(-3)
IIIrow +Irow(-2)
IVrow +Irow(--2)
∣ A ∣ = ∣ 1 1 0 2 0 0 1 k − 6 0 1 1 1 0 − 2 k − 9 ∣ |A|=\begin{vmatrix}
1 & 1&0&2 \\
0 & 0&1&k-6\\
0&1&1&1\\
0&-2&k&-9
\end{vmatrix} ∣ A ∣ = ∣ ∣ 1 0 0 0 1 0 1 − 2 0 1 1 k 2 k − 6 1 − 9 ∣ ∣
IIIrow ⟺ \iff ⟺
∣ A ∣ = ∣ 1 1 0 2 0 1 1 1 0 0 1 k − 6 0 − 2 k − 9 ∣ |A|=\begin{vmatrix}
1 & 1&0&2 \\
0 & 1&1&1\\
0&0&1&k-6\\
0&-2&k&-9
\end{vmatrix} ∣ A ∣ = ∣ ∣ 1 0 0 0 1 1 0 − 2 0 1 1 k 2 1 k − 6 − 9 ∣ ∣
IVrow+IIrow(2)
∣ A ∣ = ∣ 1 1 0 2 0 1 1 1 0 0 1 k − 6 0 0 k + 2 − 7 ∣ |A|=\begin{vmatrix}
1 & 1&0&2 \\
0 & 1&1&1\\
0&0&1&k-6\\
0&0&k+2&-7
\end{vmatrix} ∣ A ∣ = ∣ ∣ 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 k + 2 2 1 k − 6 − 7 ∣ ∣
IVrow+IIIrow(-k-2)
∣ A ∣ = ∣ 1 1 0 2 0 1 1 1 0 0 1 k − 6 0 0 0 − k 2 + 4 k + 5 ∣ = 1 ⋅ 1 ⋅ 1 ⋅ ( − k 2 + 4 k + 5 ) = − k 2 + 4 k + 5 ≠ 0 |A|=\begin{vmatrix}
1 & 1&0&2 \\
0 & 1&1&1\\
0&0&1&k-6\\
0&0&0&-k^2+4k+5
\end{vmatrix}=\\
1\cdot1\cdot1\cdot(-k^2+4k+5)=-k^2+4k+5\neq0 ∣ A ∣ = ∣ ∣ 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 2 1 k − 6 − k 2 + 4 k + 5 ∣ ∣ = 1 ⋅ 1 ⋅ 1 ⋅ ( − k 2 + 4 k + 5 ) = − k 2 + 4 k + 5 = 0
k 2 − 4 k − 5 ≠ 0 ( k 2 − 4 k − 5 = 0 k 1 + k 2 = 4 k 1 ⋅ k 2 = − 5 k 1 = 5 , k 2 = − 1 ) k 1 ≠ 5 , k 2 ≠ − 1 k^2-4k-5\neq0\\
(k^2-4k-5=0\\
k_1+k_2=4\\
k_1\cdot k_2=-5\\
k_1=5, k_2=-1)\\
k_1\neq5, k_2\neq-1 k 2 − 4 k − 5 = 0 ( k 2 − 4 k − 5 = 0 k 1 + k 2 = 4 k 1 ⋅ k 2 = − 5 k 1 = 5 , k 2 = − 1 ) k 1 = 5 , k 2 = − 1
The matrix A
A is non-singular if k ≠ 5 , k ≠ − 1 k\neq5, k\neq-1 k = 5 , k = − 1
5a)
∣ B ∣ = ∣ 1 p q r 2 1 q r p 2 1 p r q 2 ∣ |B|=\begin{vmatrix}
1 & pq &r^2\\
1 & qr&p^2\\
1&pr&q^2
\end{vmatrix} ∣ B ∣ = ∣ ∣ 1 1 1 pq q r p r r 2 p 2 q 2 ∣ ∣
IIrow+Irow(-1)
IIIrow+Irow(-1)
∣ B ∣ = ∣ 1 p q r 2 0 q r − p q p 2 − r 2 0 p r − p q q 2 − r 2 ∣ = = ∣ 1 p q r 2 0 − q ( p − r ) ( p − r ) ( p + r ) 0 − p ( q − r ) ( q − r ) ( q + r ) ∣ = = ( p − r ) ( q − r ) ∣ 1 p q r 2 0 − q p + r 0 − p q + r ∣ |B|=\begin{vmatrix}
1 & pq &r^2\\
0 & qr-pq&p^2-r^2\\
0&pr-pq&q^2-r^2
\end{vmatrix}=\\
=\begin{vmatrix}
1 & pq &r^2\\
0 & -q(p-r)&(p-r)(p+r)\\
0&-p(q-r)&(q-r)(q+r)
\end{vmatrix}=\\
=(p-r)(q-r)\begin{vmatrix}
1 & pq &r^2\\
0 & -q&p+r\\
0&-p&q+r
\end{vmatrix} ∣ B ∣ = ∣ ∣ 1 0 0 pq q r − pq p r − pq r 2 p 2 − r 2 q 2 − r 2 ∣ ∣ = = ∣ ∣ 1 0 0 pq − q ( p − r ) − p ( q − r ) r 2 ( p − r ) ( p + r ) ( q − r ) ( q + r ) ∣ ∣ = = ( p − r ) ( q − r ) ∣ ∣ 1 0 0 pq − q − p r 2 p + r q + r ∣ ∣
IIIrow+IIrow(-1)
∣ B ∣ = ( p − r ) ( q − r ) ∣ 1 p q r 2 0 − q p + r 0 − p + q q − p ∣ = = ( p − r ) ( q − r ) ( q − p ) ∣ 1 p q r 2 0 − q p + r 0 1 1 ∣ |B|=(p-r)(q-r)\begin{vmatrix}
1 & pq &r^2\\
0 & -q&p+r\\
0&-p+q&q-p
\end{vmatrix}=\\
=(p-r)(q-r)(q-p)\begin{vmatrix}
1 & pq &r^2\\
0 & -q&p+r\\
0&1&1
\end{vmatrix} ∣ B ∣ = ( p − r ) ( q − r ) ∣ ∣ 1 0 0 pq − q − p + q r 2 p + r q − p ∣ ∣ = = ( p − r ) ( q − r ) ( q − p ) ∣ ∣ 1 0 0 pq − q 1 r 2 p + r 1 ∣ ∣
IIIrow ⟺ \iff ⟺
∣ B ∣ = − ( p − r ) ( q − r ) ( q − p ) ∣ 1 p q r 2 0 1 1 0 − q p + r ∣ |B|=-(p-r)(q-r)(q-p)\begin{vmatrix}
1 & pq &r^2\\
0&1&1 \\
0 & -q&p+r\\
\end{vmatrix} ∣ B ∣ = − ( p − r ) ( q − r ) ( q − p ) ∣ ∣ 1 0 0 pq 1 − q r 2 1 p + r ∣ ∣
IIIrow+IIrow(q)
∣ B ∣ = ( p − r ) ( q − r ) ( p − q ) ∣ 1 p q r 2 0 1 1 0 0 p + r + q ∣ = = ( p − r ) ( q − r ) ( p − q ) ( p + r + q ) |B|=(p-r)(q-r)(p-q)\begin{vmatrix}
1 & pq &r^2\\
0 & 1&1\\
0&0&p+r+q
\end{vmatrix}=\\
=(p-r)(q-r)(p-q)(p+r+q) ∣ B ∣ = ( p − r ) ( q − r ) ( p − q ) ∣ ∣ 1 0 0 pq 1 0 r 2 1 p + r + q ∣ ∣ = = ( p − r ) ( q − r ) ( p − q ) ( p + r + q )
5b)
∣ C ∣ = ∣ 1 ( R + 1 ) x ( R + 3 ) 2 1 ( R + 3 ) x ( R + 1 ) 2 1 ( R + 1 ) ( R + 3 ) x 2 ∣ |C|=\begin{vmatrix}
1 & (R+1)x&(R+3)^2 \\
1 & (R+3)x&(R+1)^2\\
1&(R+1)(R+3)&x^2
\end{vmatrix} ∣ C ∣ = ∣ ∣ 1 1 1 ( R + 1 ) x ( R + 3 ) x ( R + 1 ) ( R + 3 ) ( R + 3 ) 2 ( R + 1 ) 2 x 2 ∣ ∣
In our case
p = R + 1 = 4 + 1 = 5 q = x r = R + 3 = 4 + 3 = 7 p=R+1=4+1=5\\
q=x\\
r=R+3=4+3=7 p = R + 1 = 4 + 1 = 5 q = x r = R + 3 = 4 + 3 = 7
∣ C ∣ = ( p − q ) ( q − r ) ( p − r ) ( p + q + r ) = = ( 5 − x ) ( x − 7 ) ( 5 − 7 ) ( 5 + x + 7 ) = = − 2 ( 5 x − 35 − x 2 + 7 x ) ( 12 + x ) = = − 2 ( − x 2 + 12 x − 35 ) ( 12 + x ) = = − 2 ( − x 3 − 109 x − 420 ) = 2 x 3 + 218 x + 840 |C|=(p-q)(q-r)(p-r)(p+q+r)=\\
=(5-x)(x-7)(5-7)(5+x+7)=\\
=-2(5x-35-x^2+7x)(12+x)=\\
=-2(-x^2+12x-35)(12+x)=\\
=-2(-x^3-109x-420)=2x^3+218x+840 ∣ C ∣ = ( p − q ) ( q − r ) ( p − r ) ( p + q + r ) = = ( 5 − x ) ( x − 7 ) ( 5 − 7 ) ( 5 + x + 7 ) = = − 2 ( 5 x − 35 − x 2 + 7 x ) ( 12 + x ) = = − 2 ( − x 2 + 12 x − 35 ) ( 12 + x ) = = − 2 ( − x 3 − 109 x − 420 ) = 2 x 3 + 218 x + 840
#339914 on Dec 2023
Comments