D e t ( V ) = ∣ 1 x x 2 x 3 1 y y 2 y 3 1 z z 2 z 3 1 w w 2 w 3 ∣ Det(V)=\begin{vmatrix} 1 & x & x^2 & x^3\\ 1 & y & y^2 & y^3\\ 1 & z & z^2 & z^3\\ 1 & w & w^2 & w^3\\ \end{vmatrix} De t ( V ) = ∣ ∣ 1 1 1 1 x y z w x 2 y 2 z 2 w 2 x 3 y 3 z 3 w 3 ∣ ∣
= ∣ 1 x x 2 x 3 0 y − x y 2 − x 2 y 3 − x 3 0 z − x z 2 − x 2 z 3 − x 3 0 w − x w 2 − x 2 w 3 − x 3 ∣ =\begin{vmatrix} 1 & x & x^2 & x^3\\ 0 & y-x & y^2-x^2 & y^3-x^3\\ 0 & z-x & z^2-x^2 & z^3-x^3\\ 0 & w-x & w^2-x^2 & w^3-x^3\\ \end{vmatrix} = ∣ ∣ 1 0 0 0 x y − x z − x w − x x 2 y 2 − x 2 z 2 − x 2 w 2 − x 2 x 3 y 3 − x 3 z 3 − x 3 w 3 − x 3 ∣ ∣
Row 2 = Row 2 - Row 1; Row 3 = Row 3 - Row 1; Row 4 = Row 4 - Row 1
= ∣ 1 x x 2 x 3 0 y − x ( y − x ) ( y + x ) ( y − x ) ( y 2 + y x + x 2 ) 0 z − x ( z − x ) ( z + x ) ( z − x ) ( z 2 + z x + x 2 ) 0 w − x ( w − x ) ( w + x ) ( w − x ) ( w 2 + w x + x 2 ) ∣ =\begin{vmatrix}
1 & x & x^2 & x^3\\
0 & y-x & (y-x)(y+x) & (y-x)(y^2+yx+x^2)\\
0 & z-x & (z-x)(z+x) & (z-x)(z^2+zx+x^2)\\
0 & w-x & (w-x)(w+x) & (w-x)(w^2+wx+x^2)\\
\end{vmatrix} = ∣ ∣ 1 0 0 0 x y − x z − x w − x x 2 ( y − x ) ( y + x ) ( z − x ) ( z + x ) ( w − x ) ( w + x ) x 3 ( y − x ) ( y 2 + y x + x 2 ) ( z − x ) ( z 2 + z x + x 2 ) ( w − x ) ( w 2 + w x + x 2 ) ∣ ∣
= ( y − x ) ( z − x ) ( w − x ) ∣ 1 x x 2 x 3 0 1 ( y + x ) ( y 2 + y x + x 2 ) 0 1 ( z + x ) ( z 2 + z x + x 2 ) 0 1 ( w + x ) ( w 2 + w x + x 2 ) ∣ =(y-x)(z-x)(w-x)
\begin{vmatrix}
1 & x & x^2 & x^3\\
0 & 1 & (y+x) & (y^2+yx+x^2)\\
0 & 1 & (z+x) & (z^2+zx+x^2)\\
0 & 1 & (w+x) & (w^2+wx+x^2)\\
\end{vmatrix} = ( y − x ) ( z − x ) ( w − x ) ∣ ∣ 1 0 0 0 x 1 1 1 x 2 ( y + x ) ( z + x ) ( w + x ) x 3 ( y 2 + y x + x 2 ) ( z 2 + z x + x 2 ) ( w 2 + w x + x 2 ) ∣ ∣
By taking out ( y − x ) (y-x) ( y − x ) ( z − x ) (z-x) ( z − x ) ( w − x ) (w-x) ( w − x )
= ( y − x ) ( z − x ) ( w − x ) ∣ 1 x x 2 x 3 0 1 y + x ( y 2 + y x + x 2 ) 0 0 z − y ( z 2 − y 2 + z x − y x ) 0 0 w − y ( w 2 − y 2 + w x − y x ) ∣ =(y-x)(z-x)(w-x)
\begin{vmatrix}
1 & x & x^2 & x^3\\
0 & 1 & y+x & (y^2+yx+x^2)\\
0 & 0 & z-y & (z^2-y^2+zx-yx)\\
0 & 0 & w-y & (w^2-y^2+wx-yx)\\
\end{vmatrix} = ( y − x ) ( z − x ) ( w − x ) ∣ ∣ 1 0 0 0 x 1 0 0 x 2 y + x z − y w − y x 3 ( y 2 + y x + x 2 ) ( z 2 − y 2 + z x − y x ) ( w 2 − y 2 + w x − y x ) ∣ ∣
Row 3 = Row 3 - Row 2; Row 4 = Row 4 - Row 2
= ( y − x ) ( z − x ) ( w − x ) ∣ 1 x x 2 x 3 0 1 y + x ( y 2 + y x + x 2 ) 0 0 z − y ( ( z − y ) ( z + y ) + ( z − y ) x ) 0 0 w − y ( ( w − y ) ( w + y ) + ( w − y ) x ) ∣ = ( y − x ) ( z − x ) ( w − x ) ∣ 1 x x 2 x 3 0 1 y + x ( y 2 + y x + x 2 ) 0 0 z − y ( z − y ) ( z + y + x ) 0 0 w − y ( w − y ) ( w + y + x ) ∣ =(y-x)(z-x)(w-x)
\begin{vmatrix}
1 & x & x^2 & x^3\\
0 & 1 & y+x & (y^2+yx+x^2)\\
0 & 0 & z-y & ((z-y)(z+y)+(z-y)x)\\
0 & 0 & w-y & ((w-y)(w+y)+(w-y)x)\\
\end{vmatrix}\\
=(y-x)(z-x)(w-x)
\begin{vmatrix}
1 & x & x^2 & x^3\\
0 & 1 & y+x & (y^2+yx+x^2)\\
0 & 0 & z-y & (z-y)(z+y+x)\\
0 & 0 & w-y & (w-y)(w+y+x)\\
\end{vmatrix} = ( y − x ) ( z − x ) ( w − x ) ∣ ∣ 1 0 0 0 x 1 0 0 x 2 y + x z − y w − y x 3 ( y 2 + y x + x 2 ) (( z − y ) ( z + y ) + ( z − y ) x ) (( w − y ) ( w + y ) + ( w − y ) x ) ∣ ∣ = ( y − x ) ( z − x ) ( w − x ) ∣ ∣ 1 0 0 0 x 1 0 0 x 2 y + x z − y w − y x 3 ( y 2 + y x + x 2 ) ( z − y ) ( z + y + x ) ( w − y ) ( w + y + x ) ∣ ∣
= ( y − x ) ( z − x ) ( w − x ) ( z − y ) ( w − y ) ∣ 1 x x 2 x 3 0 1 y + x ( y 2 + y x + x 2 ) 0 0 1 ( z + y + x ) 0 0 1 ( w + y + x ) ∣ =(y-x)(z-x)(w-x)(z-y)(w-y)
\begin{vmatrix}
1 & x & x^2 & x^3\\
0 & 1 & y+x & (y^2+yx+x^2)\\
0 & 0 & 1 & (z+y+x)\\
0 & 0 & 1 & (w+y+x)\\
\end{vmatrix} = ( y − x ) ( z − x ) ( w − x ) ( z − y ) ( w − y ) ∣ ∣ 1 0 0 0 x 1 0 0 x 2 y + x 1 1 x 3 ( y 2 + y x + x 2 ) ( z + y + x ) ( w + y + x ) ∣ ∣
By taking out ( z − y ) (z-y) ( z − y ) ( w − y ) (w-y) ( w − y )
= ( y − x ) ( z − x ) ( w − x ) ( z − y ) ( w − y ) ∣ 1 x x 2 x 3 0 1 y + x ( y 2 + y x + x 2 ) 0 0 1 ( z + y + x ) 0 0 0 ( w − z ) ∣ =(y-x)(z-x)(w-x)(z-y)(w-y)
\begin{vmatrix}
1 & x & x^2 & x^3\\
0 & 1 & y+x & (y^2+yx+x^2)\\
0 & 0 & 1 & (z+y+x)\\
0 & 0 & 0 & (w-z)\\
\end{vmatrix} = ( y − x ) ( z − x ) ( w − x ) ( z − y ) ( w − y ) ∣ ∣ 1 0 0 0 x 1 0 0 x 2 y + x 1 0 x 3 ( y 2 + y x + x 2 ) ( z + y + x ) ( w − z ) ∣ ∣
Row 4 = Row 4 - Row 3
= ( y − x ) ( z − x ) ( w − x ) ( z − y ) ( w − y ) ( w − z ) ∣ 1 x x 2 x 3 0 1 y + x ( y 2 + y x + x 2 ) 0 0 1 ( z + y + x ) 0 0 0 1 ∣ =(y-x)(z-x)(w-x)(z-y)(w-y)(w-z)
\begin{vmatrix}
1 & x & x^2 & x^3\\
0 & 1 & y+x & (y^2+yx+x^2)\\
0 & 0 & 1 & (z+y+x)\\
0 & 0 & 0 & 1\\
\end{vmatrix} = ( y − x ) ( z − x ) ( w − x ) ( z − y ) ( w − y ) ( w − z ) ∣ ∣ 1 0 0 0 x 1 0 0 x 2 y + x 1 0 x 3 ( y 2 + y x + x 2 ) ( z + y + x ) 1 ∣ ∣
By taking out ( w − z ) (w-z) ( w − z )
= ( y − x ) ( z − x ) ( w − x ) ( z − y ) ( w − y ) ( w − z ) . =(y-x)(z-x)(w-x)(z-y)(w-y)(w-z). = ( y − x ) ( z − x ) ( w − x ) ( z − y ) ( w − y ) ( w − z ) .
Since ∣ 1 x x 2 x 3 0 1 y + x ( y 2 + y x + x 2 ) 0 0 1 ( z + y + x ) 0 0 0 1 ∣ = 1 \begin{vmatrix} 1 & x & x^2 & x^3\\ 0 & 1 & y+x & (y^2+yx+x^2)\\ 0 & 0 & 1 & (z+y+x)\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ \end{vmatrix}
=1 ∣ ∣ 1 0 0 0 x 1 0 0 x 2 y + x 1 0 x 3 ( y 2 + y x + x 2 ) ( z + y + x ) 1 ∣ ∣ = 1
Hence proved.
#339914 on Dec 2023
Comments
Thank you for correcting us.
I think the answer is wrong, on the first step, it should be z^3 - x^3 not y^3 - x^3?