Question 1. Let ϕ ( x , y , z ) = x y 2 z \phi(x, y, z) = xy^2z ϕ ( x , y , z ) = x y 2 z A ( x , y , z ) = x z i − x y 2 j + x z 2 A(x, y, z) = xzi - xy^2j + xz^2 A ( x , y , z ) = x z i − x y 2 j + x z 2 ∂ 2 ∂ x ∂ y ( ϕ A ) \frac{\partial^2}{\partial x \partial y}(\phi A) ∂ x ∂ y ∂ 2 ( ϕ A ) ( 2 , − 1 , 1 ) (2, -1, 1) ( 2 , − 1 , 1 )
Solution.
ϕ A = x y 2 z ( x z i − x y 2 j + x z 2 ) = x 2 y 2 z 2 i − x 2 y 4 z j + x 2 y 2 z 3 \phi A = x y ^ {2} z (x z i - x y ^ {2} j + x z ^ {2}) = x ^ {2} y ^ {2} z ^ {2} i - x ^ {2} y ^ {4} z j + x ^ {2} y ^ {2} z ^ {3} ϕ A = x y 2 z ( x z i − x y 2 j + x z 2 ) = x 2 y 2 z 2 i − x 2 y 4 z j + x 2 y 2 z 3 ∂ y ( ϕ A ) = 2 x 2 y z 2 i − 4 x 2 y 3 z j + 2 x 2 y z 3 \partial_ {y} (\phi A) = 2 x ^ {2} y z ^ {2} i - 4 x ^ {2} y ^ {3} z j + 2 x ^ {2} y z ^ {3} ∂ y ( ϕ A ) = 2 x 2 y z 2 i − 4 x 2 y 3 z j + 2 x 2 y z 3 ∂ x y 2 ( ϕ A ) = ∂ x ( 2 x 2 y z 2 i − 4 x 2 y 3 z j + 2 x 2 y z 3 ) = 4 x y z 2 i − 8 x y 3 z j + 4 x y z 3 \partial_ {x y} ^ {2} (\phi A) = \partial_ {x} (2 x ^ {2} y z ^ {2} i - 4 x ^ {2} y ^ {3} z j + 2 x ^ {2} y z ^ {3}) = 4 x y z ^ {2} i - 8 x y ^ {3} z j + 4 x y z ^ {3} ∂ x y 2 ( ϕ A ) = ∂ x ( 2 x 2 y z 2 i − 4 x 2 y 3 z j + 2 x 2 y z 3 ) = 4 x y z 2 i − 8 x y 3 z j + 4 x y z 3 ∂ x y 2 ( ϕ A ) ∣ ( 2 , − 1 , 1 ) = 4 ⋅ 2 ( − 1 ) i − 8 ⋅ 2 ( − 1 ) 3 j + 4 ⋅ 2 ( − 1 ) = − 8 i + 16 j − 8 \left. \partial_ {x y} ^ {2} (\phi A) \right| _ {(2, - 1, 1)} = 4 \cdot 2 (- 1) i - 8 \cdot 2 (- 1) ^ {3} j + 4 \cdot 2 (- 1) = - 8 i + 1 6 j - 8 ∂ x y 2 ( ϕ A ) ∣ ∣ ( 2 , − 1 , 1 ) = 4 ⋅ 2 ( − 1 ) i − 8 ⋅ 2 ( − 1 ) 3 j + 4 ⋅ 2 ( − 1 ) = − 8 i + 16 j − 8 ∂ 2 ∂ x ∂ y ( ϕ A ) ∣ ( 2 , − 1 , 1 ) = 8 ( − i + 2 j − 1 ) \left. \frac {\partial^ {2}}{\partial x \partial y} (\phi A) \right| _ {(2, - 1, 1)} = 8 (- i + 2 j - 1) ∂ x ∂ y ∂ 2 ( ϕ A ) ∣ ∣ ( 2 , − 1 , 1 ) = 8 ( − i + 2 j − 1 )
Answer provided by https://www.AssignmentExpert.com
