Using the Charpit's method, we shall solve PDE
z p 2 − y 2 p + y 2 q zp²-y²p+y²q z p 2 − y 2 p + y 2 q
Consider
f ( x , y , z , p , q ) = 0 f(x,y,z,p,q)=0 f ( x , y , z , p , q ) = 0
Given the PDE z p 2 − y 2 p + y 2 q zp²-y²p+y²q z p 2 − y 2 p + y 2 q
We have that
f ( x , y , z , p , q ) f(x,y,z,p,q) f ( x , y , z , p , q ) = z p 2 − y 2 p + y 2 q = 0 =zp²-y²p+y²q=0 = z p 2 − y 2 p + y 2 q = 0
We have the formula
d p ∂ f ∂ x + p ∂ f ∂ z = d q ∂ f ∂ y + q ∂ f ∂ z = d z − p ∂ f ∂ p − q ∂ f ∂ q = d x − ∂ f ∂ p = d y − ∂ f ∂ q \displaystyle\frac{dp}{\frac{\partial f}{\partial x}+p\frac{\partial f}{\partial z}}=\frac{dq}{\frac{\partial f}{\partial y}+q\frac{\partial f}{\partial z}}=\frac{dz}{-p\frac{\partial f}{\partial p}-q\frac{\partial f}{\partial q}}=\frac{dx}{-\frac{\partial f}{\partial p}}=\frac{dy}{-\frac{\partial f}{\partial q}} ∂ x ∂ f + p ∂ z ∂ f d p = ∂ y ∂ f + q ∂ z ∂ f d q = − p ∂ p ∂ f − q ∂ q ∂ f d z = − ∂ p ∂ f d x = − ∂ q ∂ f d y
It follows that
∂ f ∂ x = 0 , ∂ f ∂ y = − 2 y p + 2 y q , ∂ f ∂ z = p 2 , ∂ f ∂ p = 2 p z − 2 p y , ∂ f ∂ q = y 2 \frac{\partial f}{\partial x}=0,\frac{\partial f}{\partial y}=-2yp+2yq,\frac{\partial f}{\partial z}=p²,\frac{\partial f}{\partial p}=2pz-2py,\frac{\partial f}{\partial q}=y² ∂ x ∂ f = 0 , ∂ y ∂ f = − 2 y p + 2 y q , ∂ z ∂ f = p 2 , ∂ p ∂ f = 2 p z − 2 p y , ∂ q ∂ f = y 2
Substituting, we have
⟹ d p p 3 = d q 2 p y + 2 q y + p 2 q = d z − p ( 2 p z − y 2 ) − q ( y 2 ) = d y − y 2 \displaystyle \implies\frac{dp}{p³}=\frac{dq}{2py+2qy+p²q}=\frac{dz}{-p(2pz-y²)-q(y²)}=\frac{dy}{-y²} ⟹ p 3 d p = 2 p y + 2 q y + p 2 q d q = − p ( 2 p z − y 2 ) − q ( y 2 ) d z = − y 2 d y
Consider
d p p 3 = d y − y 2 \frac{dp}{p³}=\frac{dy}{-y²} p 3 d p = − y 2 d y
We have that
p − 3 d p = − y − 2 d y \displaystyle p^{-3}dp=-y^{-2}dy p − 3 d p = − y − 2 d y
Integrating, we have
⟹ ∫ p − 3 d p = ∫ − y − 2 d y ⟹ ∫ p − 3 d p = − ∫ y − 2 d y \implies\int p^{-3}dp=\int -y^{-2}dy\\\implies\int p^{-3}dp=-\int y^{-2}dy ⟹ ∫ p − 3 d p = ∫ − y − 2 d y ⟹ ∫ p − 3 d p = − ∫ y − 2 d y
⟹ p − 2 − 2 = y − 1 + c \implies \frac{p^{-2}}{-2}=y^{-1}+c ⟹ − 2 p − 2 = y − 1 + c
Where c c c
⟹ 1 p 2 = − 2 y + c ⟹ y = c − 2 p 2 \implies \frac{1}{p²}=\frac{-2}{y}+c\\\implies y=c-2p² ⟹ p 2 1 = y − 2 + c ⟹ y = c − 2 p 2
by making p p p
⟹ p = c − y 2 \implies p=\sqrt{\frac{c-y}{2}} ⟹ p = 2 c − y
Now, Substituting the value of p p p
We have
⟹ z ( a − y 2 ) − y 2 a − y 2 + y 2 q = 0 \implies z(\frac{a-y}{2})-y²\sqrt{\frac{a-y}{2}}+y²q=0 ⟹ z ( 2 a − y ) − y 2 2 a − y + y 2 q = 0
⟹ y 2 q = y 2 a − y 2 − z ( a − y 2 ) \implies y²q=y²\sqrt{\frac{a-y}{2}}-z(\frac{a-y}{2}) ⟹ y 2 q = y 2 2 a − y − z ( 2 a − y )
⟹ q = a − y 2 − z y 2 ( a − y 2 ) \implies q=\sqrt{\frac{a-y}{2}}-\frac{z}{y²}(\frac{a-y}{2}) ⟹ q = 2 a − y − y 2 z ( 2 a − y )
we have been able to get values for p a n d q p\hspace{0.1cm}and\hspace{0.1cm}q p an d q
NOW,
we know that d z = p d x + q d y dz=p\hspace{0.05cm}dx+q\hspace{0.05cm}dy d z = p d x + q d y
By substituting p a n d q i n d z p\hspace{0.1cm}and\hspace{0.1cm}q\hspace{0.1cm}in\hspace{0.1cm}dz p an d q in d z
We have
d z = a − y 2 d x + { a − y 2 − z y 2 ( a − y 2 ) } d y dz=\sqrt{\frac{a-y}{2}}dx+\left\{\sqrt{\frac{a-y}{2}}-\frac{z}{y²}(\frac{a-y}{2})\right\}dy d z = 2 a − y d x + { 2 a − y − y 2 z ( 2 a − y ) } d y
It follows that,
d z = ∫ a − y 2 d x + ∫ { a − y 2 − z y 2 ( a − y 2 ) } d y \displaystyle dz=\int\sqrt{\frac{a-y}{2}}dx+\int \left\{\sqrt{\frac{a-y}{2}}-\frac{z}{y²}(\frac{a-y}{2})\right\}dy d z = ∫ 2 a − y d x + ∫ { 2 a − y − y 2 z ( 2 a − y ) } d y
By integration, we have our final result to be
z = x c − y 2 + [ 2 ( c − y ) 3 ( y − c ) + z c + y l o g ( y ) 2 y ] \displaystyle z=\frac{x\sqrt{c-y}}{\sqrt{2}}+\left[\frac{\sqrt{2(c-y)}}{3}(y-c)+z\frac{c+y\hspace{0.05cm}log(y)}{2y}\right] z = 2 x c − y + [ 3 2 ( c − y ) ( y − c ) + z 2 y c + y l o g ( y ) ]
Which is the solution of the PDE
z p 2 − y 2 p + y 2 q zp²-y²p+y²q z p 2 − y 2 p + y 2 q
#332078 on Oct 2022
Comments