y ′ ′ + 4 y ′ − 4 y = sin 3 x y''+4y'-4y=\sin3x y ′′ + 4 y ′ − 4 y = sin 3 x
solution find in form
y = y 1 + y 2 y=y_1+y_2 y = y 1 + y 2
then
1 ) y ′ ′ + 4 y ′ − 4 y = 0 λ 2 + 4 λ − 4 = 0 λ 1 = − 2 − 2 2 , λ 2 = − 2 + 2 2 y 1 = c 1 e ( − 2 − 2 2 ) x + c 2 e ( − 2 + 2 2 ) x 2 ) y 2 = a cos 3 x + b sin 3 x y 2 ′ = − 3 a sin 3 x + 3 b cos 3 x y 2 ′ ′ = − 9 a cos 3 x − 9 b sin 3 x 1) y''+4y'-4y=0\\
\lambda^2+4\lambda-4=0\\
\lambda_1=-2-2\sqrt{2}, \lambda_2=-2+2\sqrt{2}\\
y_1=c_1e^{(-2-2\sqrt{2})x}+c_2e^{(-2+2\sqrt{2})x}\\
2) y_2=a\cos3x+b\sin3x\\
y_2'=-3a\sin3x+3b\cos3x\\
y_2''=-9a\cos3x-9b\sin3x\\ 1 ) y ′′ + 4 y ′ − 4 y = 0 λ 2 + 4 λ − 4 = 0 λ 1 = − 2 − 2 2 , λ 2 = − 2 + 2 2 y 1 = c 1 e ( − 2 − 2 2 ) x + c 2 e ( − 2 + 2 2 ) x 2 ) y 2 = a cos 3 x + b sin 3 x y 2 ′ = − 3 a sin 3 x + 3 b cos 3 x y 2 ′′ = − 9 a cos 3 x − 9 b sin 3 x
Plug in the equation
− 9 a cos 3 x − 9 b sin 3 x − 12 a sin 3 x + + 12 b cos 3 x − 4 a cos 3 x − 4 b sin 3 x = sin 3 x cos 3 x : − 9 a + 12 b − 4 a = 0 sin 3 x : − 9 b − 12 a − 4 b = 1 a = 12 b 13 − 13 b − 12 a = 1 , − 13 b − 144 b 13 = 1 , − 313 b = 13 , b = − 13 313 , a = − 12 313 y 2 = − 12 313 cos 3 x − 13 313 sin 3 x -9a\cos3x-9b\sin3x-12a\sin3x+\\
+12b\cos3x-4a\cos3x-4b\sin3x=\sin3x\\
\cos3x: -9a+12b-4a=0\\
\sin3x: -9b-12a-4b=1\\
a=\frac{12b}{13}\\
-13b-12a=1, -13b-\frac{144b}{13}=1, -313b=13, \\
b=-\frac{13}{313}, a=-\frac{12}{313}\\
y_2=-\frac{12}{313}\cos3x-\frac{13}{313}\sin3x\\ − 9 a cos 3 x − 9 b sin 3 x − 12 a sin 3 x + + 12 b cos 3 x − 4 a cos 3 x − 4 b sin 3 x = sin 3 x cos 3 x : − 9 a + 12 b − 4 a = 0 sin 3 x : − 9 b − 12 a − 4 b = 1 a = 13 12 b − 13 b − 12 a = 1 , − 13 b − 13 144 b = 1 , − 313 b = 13 , b = − 313 13 , a = − 313 12 y 2 = − 313 12 cos 3 x − 313 13 sin 3 x
Answer:
y = c 1 e ( − 2 − 2 2 ) x + c 2 e ( − 2 + 2 2 ) x − − 12 313 cos 3 x − 13 313 sin 3 x y=c_1e^{(-2-2\sqrt{2})x}+c_2e^{(-2+2\sqrt{2})x}-\\
-\frac{12}{313}\cos3x-\frac{13}{313}\sin3x y = c 1 e ( − 2 − 2 2 ) x + c 2 e ( − 2 + 2 2 ) x − − 313 12 cos 3 x − 313 13 sin 3 x
#340153 on Dec 2023
Comments