1)
x' and y' does not depend explicitly on time, it is autonomous system
also, this is nonlinear system
2)
x ( − 20 − x + 2 y ) = 0 x(-20-x+2y)=0 x ( − 20 − x + 2 y ) = 0
y ( − 50 + x − y ) = 0 y(-50+x-y)=0 y ( − 50 + x − y ) = 0
equilibrium points:
( 0 , 0 ) , ( 0 , − 50 ) , ( − 20 , 0 ) , ( 120 , 70 ) (0,0),(0,-50),(-20,0),(120,70) ( 0 , 0 ) , ( 0 , − 50 ) , ( − 20 , 0 ) , ( 120 , 70 )
Jacobian matrix:
J = ( ∂ f / ∂ x ∂ f / ∂ y ∂ g / ∂ x ∂ g / ∂ y ) = ( − 20 − 2 x + 2 y 2 x y − 50 + x − 2 y ) J=\begin{pmatrix}
\partial f/ \partial x& \partial f/ \partial y \\
\partial g/ \partial x & \partial g/ \partial y
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
-20-2x+2y & 2x \\
y& -50+x-2y
\end{pmatrix} J = ( ∂ f / ∂ x ∂ g / ∂ x ∂ f / ∂ y ∂ g / ∂ y ) = ( − 20 − 2 x + 2 y y 2 x − 50 + x − 2 y )
where
f ( x , y ) = x ( − 20 − x + 2 y ) f(x,y)=x(-20-x+2y) f ( x , y ) = x ( − 20 − x + 2 y )
g ( x , y ) = y ( − 50 + x − y ) g(x,y)=y(-50+x-y) g ( x , y ) = y ( − 50 + x − y )
for equilibrium points:
J ( 0 , 0 ) = ( − 20 0 0 − 50 ) J(0,0)=\begin{pmatrix}
-20 & 0 \\
0 & -50
\end{pmatrix} J ( 0 , 0 ) = ( − 20 0 0 − 50 )
( x ′ y ′ ) = ( − 20 0 0 − 50 ) ( x y ) = ( − 20 x − 50 y ) \begin{pmatrix}
x' \\
y'
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
-20 & 0 \\
0 & -50
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x \\
y
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
-20x \\
-50y
\end{pmatrix} ( x ′ y ′ ) = ( − 20 0 0 − 50 ) ( x y ) = ( − 20 x − 50 y )
J ( 0 , − 50 ) = ( − 120 0 − 50 50 ) J(0,-50)=\begin{pmatrix}
-120 & 0 \\
-50 & 50
\end{pmatrix} J ( 0 , − 50 ) = ( − 120 − 50 0 50 )
( x ′ y ′ ) = ( − 120 0 − 50 50 ) ( x y ) = ( − 120 x − 50 x + 50 y ) \begin{pmatrix}
x' \\
y'
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
-120 & 0 \\
-50 & 50
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x \\
y
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
-120x \\
-50x+50y
\end{pmatrix} ( x ′ y ′ ) = ( − 120 − 50 0 50 ) ( x y ) = ( − 120 x − 50 x + 50 y )
J ( − 20 , 0 ) = ( 20 − 40 0 − 70 ) J(-20,0)=\begin{pmatrix}
20 & -40 \\
0 & -70
\end{pmatrix} J ( − 20 , 0 ) = ( 20 0 − 40 − 70 )
( x ′ y ′ ) = ( 20 − 40 0 − 70 ) ( x y ) = ( 20 x − 40 y − 70 y ) \begin{pmatrix}
x' \\
y'
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
20 & -40 \\
0 & -70
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x \\
y
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
20x-40y \\
-70y
\end{pmatrix} ( x ′ y ′ ) = ( 20 0 − 40 − 70 ) ( x y ) = ( 20 x − 40 y − 70 y )
J ( 120 , 70 ) = ( − 120 240 70 − 70 ) J(120,70)=\begin{pmatrix}
-120 & 240 \\
70 & -70
\end{pmatrix} J ( 120 , 70 ) = ( − 120 70 240 − 70 )
( x ′ y ′ ) = ( − 120 240 70 − 70 ) ( x y ) = ( − 120 x + 240 y 70 x − 70 y ) \begin{pmatrix}
x' \\
y'
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
-120 & 240 \\
70 & -70
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x \\
y
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
-120x+240y \\
70x-70y
\end{pmatrix} ( x ′ y ′ ) = ( − 120 70 240 − 70 ) ( x y ) = ( − 120 x + 240 y 70 x − 70 y )
3)
find eigenvalues:
for J ( 0 , 0 ) J(0,0) J ( 0 , 0 ) :
( − 20 − r ) ( − 50 − r ) = 0 (-20-r)(-50-r)=0 ( − 20 − r ) ( − 50 − r ) = 0
r 1 = − 20 , r 2 = − 50 r_1=-20,r_2=-50 r 1 = − 20 , r 2 = − 50
eigenvalues are real, r2 < r2 < 0
so, (0,0) is an asymptotically stable node
for J ( 0 , − 50 ) J(0,-50) J ( 0 , − 50 ) :
( − 120 − r ) ( 50 − r ) = 0 (-120-r)(50-r)=0 ( − 120 − r ) ( 50 − r ) = 0
r 1 = − 120 , r 2 = 50 r_1=-120,r_2=50 r 1 = − 120 , r 2 = 50
eigenvalues are real, r1 < 0 < r2
so, (0,-50) is a saddle point
for J ( − 20 , 0 ) J(-20,0) J ( − 20 , 0 ) :
( 20 − r ) ( − 70 − r ) = 0 (20-r)(-70-r)=0 ( 20 − r ) ( − 70 − r ) = 0
r 1 = 20 , r 2 = − 70 r_1=20,r_2=-70 r 1 = 20 , r 2 = − 70
eigenvalues are real, r2 < 0 < r1
so, (0,-50) is a saddle point
for J ( 120 , 70 ) J(120,70) J ( 120 , 70 ) :
( − 120 − r ) ( − 70 − r ) − 240 ⋅ 70 = 0 (-120-r)(-70-r)-240\cdot70=0 ( − 120 − r ) ( − 70 − r ) − 240 ⋅ 70 = 0
r 2 + 190 r − 8400 = 0 r^2+190r-8400=0 r 2 + 190 r − 8400 = 0
r = − 190 ± 19 0 2 + 4 ⋅ 8400 2 r=\frac{-190\pm \sqrt{190^2+4\cdot8400}}{2} r = 2 − 190 ± 19 0 2 + 4 ⋅ 8400
r 1 = 37 , r 2 = − 227 r_1=37,r_2=-227 r 1 = 37 , r 2 = − 227
eigenvalues are real, r2 < 0 < r1
so, (120,70) is a saddle point
4)
Comments