( p 2 + q 2 ) y = q z y p 2 + y q 2 = q z (p^2+q^2)y=qz\\
yp^2+yq^2=qz\\ ( p 2 + q 2 ) y = q z y p 2 + y q 2 = q z
Let p = − u x u z , q = − u y u z p=-\frac{u_x}{u_z},q=-\frac{u_y}{u_z} p = − u z u x , q = − u z u y
y ( u x 2 u z 2 ) + y ( u y 2 u z 2 ) = − u y u z . z y u x 2 + y u y 2 = − z u y u z ⟹ f ( x , y , z , u x , u y , u z ) = y u x 2 + y u y 2 + z u y u z = 0 y(\frac{u_x^2}{u_z^2})+y(\frac{u_y^2}{u_z^2})=-\frac{u_y}{u_z}.z\\
yu_x^2+yu_y^2=-zu_yu_z\\
\implies f(x,y,z,u_x,u_y,u_z)=yu_x^2+yu_y^2+zu_yu_z=0 y ( u z 2 u x 2 ) + y ( u z 2 u y 2 ) = − u z u y . z y u x 2 + y u y 2 = − z u y u z ⟹ f ( x , y , z , u x , u y , u z ) = y u x 2 + y u y 2 + z u y u z = 0
f u x = 2 y u x , f u y = 2 y u y + z u z , f u z = z u y , f x = 0 , f y = u x 2 + u y 2 , f z = u y u z f_{u_x}=2yu_x,f_{u_y}=2yu_y+zu_z,f_{u_z}=zu_y,f_x=0,f_y=u_x^2+u_y^2,f_z=u_yu_z f u x = 2 y u x , f u y = 2 y u y + z u z , f u z = z u y , f x = 0 , f y = u x 2 + u y 2 , f z = u y u z
The auxilliary equation is given as;
d x f u x = d y f u y = d z f u z = d u x − f x = d u y − f y = d u z − f z d x 2 y u x = d y 2 y u y + z u z = d z z u y = d u x 0 = d u y − ( u x 2 + u y 2 ) = d u z − u y u z \frac{dx}{f_{u_x}}=\frac{dy}{f_{u_y}}=\frac{dz}{f_{u_z}}=\frac{du_x}{-f_x}=\frac{du_y}{-f_y}=\frac{du_z}{-f_z}\\
\frac{dx}{2yu_x}=\frac{dy}{2yu_y+zu_z}=\frac{dz}{zu_y}=\frac{du_x}{0}=\frac{du_y}{-(u_x^2+u_y^2)}=\frac{du_z}{-u_yu_z} f u x d x = f u y d y = f u z d z = − f x d u x = − f y d u y = − f z d u z 2 y u x d x = 2 y u y + z u z d y = z u y d z = 0 d u x = − ( u x 2 + u y 2 ) d u y = − u y u z d u z
From the fraction above, we see that
d u x = 0 ⟹ u x = a du_x=0 \implies u_x=a d u x = 0 ⟹ u x = a
Also,
d z z u y = d u z − u y u z d z z + d u z u z = 0 Integrate ln z + ln u z = ln b u z = b z \frac{dz}{zu_y}=\frac{du_z}{-u_yu_z}\\
\frac{dz}{z}+\frac{du_z}{u_z}=0\\
\text{Integrate}\\
\ln z +\ln u_z=\ln b\\
u_z=\frac{b}{z} z u y d z = − u y u z d u z z d z + u z d u z = 0 Integrate ln z + ln u z = ln b u z = z b
Substitute the values for u x u_x u x u z u_z u z f f f
a 2 y + y u y 2 + b u y = 0 y u y 2 + b u y + a 2 y = 0 u y = − b ± b 2 − 4 a 2 y 2 2 y a^2y+yu_y^2+bu_y=0\\
yu_y^2+bu_y+a^2y=0\\
u_y=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4a^2y^2}}{2y} a 2 y + y u y 2 + b u y = 0 y u y 2 + b u y + a 2 y = 0 u y = 2 y − b ± b 2 − 4 a 2 y 2
Take the positive value\\
u y = − b + b 2 − 4 a 2 y 2 2 y u_y=\frac{-b+ \sqrt{b^2-4a^2y^2}}{2y} u y = 2 y − b + b 2 − 4 a 2 y 2
d u = u x d x + u y d y + u z d z d u = a d x + − b + b 2 − 4 a 2 y 2 2 y d y + b z d z integrate u = a x + 1 2 ( b 2 − 4 a 2 y 2 − b tanh − 1 ( b 2 − 4 a 2 y 2 b ) ) + b ln z + c du=u_xdx+u_ydy+u_zdz\\
du=adx+\frac{-b+ \sqrt{b^2-4a^2y^2}}{2y}dy+\frac{b}{z}dz\\
\text{integrate}\\
u=ax+\frac{1}{2}\left(\sqrt{b^2-4a^2y^2}-b\tanh^{-1}\left(\frac{\sqrt{b^2-4a^2y^2}}{b}\right)\right)+b \ln z+c d u = u x d x + u y d y + u z d z d u = a d x + 2 y − b + b 2 − 4 a 2 y 2 d y + z b d z integrate u = a x + 2 1 ( b 2 − 4 a 2 y 2 − b tanh − 1 ( b b 2 − 4 a 2 y 2 ) ) + b ln z + c
Let u=c
a x + 1 2 ( b 2 − 4 a 2 y 2 − b tanh − 1 ( b 2 − 4 a 2 y 2 b ) ) + b ln z = 0 ax+\frac{1}{2}\left(\sqrt{b^2-4a^2y^2}-b\tanh^{-1}\left(\frac{\sqrt{b^2-4a^2y^2}}{b}\right)\right)+b\ln z=0 a x + 2 1 ( b 2 − 4 a 2 y 2 − b tanh − 1 ( b b 2 − 4 a 2 y 2 ) ) + b ln z = 0
#339914 on Dec 2023
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