πcot(πz)=z1+2zn=1∑∞z2−n21
zπcot(πz)=1−2n=1∑∞n2−z2z2
expand n2−z2z2 in Taylor series:
n2−z2z2=i=1∑∞n2iz2i
So:
zπcot(πz)=1−2i=1∑∞(n=1∑∞n2i1)z2i
(n=1∑∞n21)z2+(n=1∑∞n41)z4+(n=1∑∞n61)z6+...=n=1∑∞n2−z2z2
n=1∑∞n21+(n=1∑∞n41)z2+(n=1∑∞n61)z4+...=n=1∑∞n2−z21
n=1∑∞n21=n=1∑∞n2−z21−(n=1∑∞n41)z2−(n=1∑∞n61)z4−...=
n=1∑∞n41=n=1∑∞z2(n2−z2)1−(n=1∑∞z2n21)−(n=1∑∞n61)z2−...
n=1∑∞n61=n=1∑∞z4(n2−z2)1−(n=1∑∞z4n21)−(n=1∑∞z2n41)−...
n2−z21=2z(n−z)1−2z(n+z)1
n=1∑∞n21=n=1∑∞(2z(n−z)1−2z(n+z)1)−(n=1∑∞n41)z2−(n=1∑∞n61)z4−...=
n=1∑∞n41=n=1∑∞(2z(n−z)1−2z(n+z)1)−(n=1∑∞z2n21)−(n=1∑∞n61)z2−...
n=1∑∞n61=n=1∑∞(2z(n−z)1−2z(n+z)1)−(n=1∑∞z4n21)−(n=1∑∞z2n41)−...
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