Solution :
(a):
z 4 = 24 i − 7 z^4=24i-7 z 4 = 24 i − 7
Put z = x + i y z=x+iy z = x + i y
⇒ ( x + i y ) 4 = 24 i − 7 ⇒ [ ( x + i y ) 2 ] 2 = 24 i − 7 ⇒ [ x 2 + i 2 y 2 + 2 i x y ] 2 = 24 i − 7 ⇒ [ ( x 2 − y 2 ) + 2 i x y ] 2 = 24 i − 7 ⇒ [ ( x 2 − y 2 ) 2 + ( 2 i x y ) 2 + 2 ( x 2 − y 2 ) ( 2 i x y ) ] = 24 i − 7 ⇒ ( x 4 + y 4 − 2 x 2 y 2 ) − 4 x 2 y 2 + 4 i x 3 y − 4 i x y 3 = 24 i − 7 ⇒ x 4 + y 4 − 6 x 2 y 2 + i ( 4 x 3 y − 4 x y 3 ) = 24 i − 7 \Rightarrow (x+iy)^4=24i-7
\\ \Rightarrow [(x+iy)^2]^2=24i-7
\\ \Rightarrow [x^2+i^2y^2+2ixy]^2=24i-7
\\ \Rightarrow [(x^2-y^2)+2ixy]^2=24i-7
\\ \Rightarrow [(x^2-y^2)^2+(2ixy)^2+2(x^2-y^2)(2ixy)]=24i-7
\\ \Rightarrow (x^4+y^4-2x^2y^2)-4x^2y^2+4ix^3y-4ixy^3=24i-7
\\ \Rightarrow x^4+y^4-6x^2y^2+i(4x^3y-4xy^3)=24i-7 ⇒ ( x + i y ) 4 = 24 i − 7 ⇒ [( x + i y ) 2 ] 2 = 24 i − 7 ⇒ [ x 2 + i 2 y 2 + 2 i x y ] 2 = 24 i − 7 ⇒ [( x 2 − y 2 ) + 2 i x y ] 2 = 24 i − 7 ⇒ [( x 2 − y 2 ) 2 + ( 2 i x y ) 2 + 2 ( x 2 − y 2 ) ( 2 i x y )] = 24 i − 7 ⇒ ( x 4 + y 4 − 2 x 2 y 2 ) − 4 x 2 y 2 + 4 i x 3 y − 4 i x y 3 = 24 i − 7 ⇒ x 4 + y 4 − 6 x 2 y 2 + i ( 4 x 3 y − 4 x y 3 ) = 24 i − 7
On comparing both sides,
x 4 + y 4 − 6 x 2 y 2 = − 7 , 4 x 3 y − 4 x y 3 = 24 ⇒ ( x 2 − y 2 ) 2 − ( 2 x y ) 2 = − 7 , 4 x y ( x 2 − y 2 ) = 24 ⇒ ( x 2 − y 2 ) 2 − ( 2 x y ) 2 = − 7 . . . ( i ) , ( x 2 − y 2 ) = 6 x y . . . ( i i ) x^4+y^4-6x^2y^2=-7,\ 4x^3y-4xy^3=24
\\\Rightarrow (x^2-y^2)^2-(2xy)^2=-7,\ 4xy(x^2-y^2)=24
\\\Rightarrow (x^2-y^2)^2-(2xy)^2=-7\ ...(i),\ (x^2-y^2)=\dfrac{6}{xy}\ ...(ii) x 4 + y 4 − 6 x 2 y 2 = − 7 , 4 x 3 y − 4 x y 3 = 24 ⇒ ( x 2 − y 2 ) 2 − ( 2 x y ) 2 = − 7 , 4 x y ( x 2 − y 2 ) = 24 ⇒ ( x 2 − y 2 ) 2 − ( 2 x y ) 2 = − 7 ... ( i ) , ( x 2 − y 2 ) = x y 6 ... ( ii )
Put (ii) in (i),
⇒ ( 6 x y ) 2 − ( 2 x y ) 2 = − 7 ⇒ 36 x 2 y 2 − 4 x 2 y 2 = − 7 \\\Rightarrow (\dfrac6{xy})^2-(2xy)^2=-7
\\\Rightarrow \dfrac{36}{x^2y^2}-4x^2y^2=-7 ⇒ ( x y 6 ) 2 − ( 2 x y ) 2 = − 7 ⇒ x 2 y 2 36 − 4 x 2 y 2 = − 7
Put x 2 y 2 = t x^2y^2=t x 2 y 2 = t
⇒ 36 t − 4 t = − 7 \\\Rightarrow \dfrac{36}{t}-4t=-7 ⇒ t 36 − 4 t = − 7
⇒ t = − 9 4 , t = 4 ⇒ x 2 y 2 = − 9 4 , x 2 y 2 = 4 \Rightarrow t=-\dfrac{9}{4},\:t=4
\\ \Rightarrow x^2y^2=-\dfrac{9}{4},\:x^2y^2=4 ⇒ t = − 4 9 , t = 4 ⇒ x 2 y 2 = − 4 9 , x 2 y 2 = 4
Rejecting negative value as it is impossible for real numbers.
⇒ x y = ± 2 ⇒ x = ± 2 y . . . ( i i i ) \Rightarrow xy=\pm2
\\ \Rightarrow x=\dfrac{\pm2}{y} \ ...(iii) ⇒ x y = ± 2 ⇒ x = y ± 2 ... ( iii )
Put (iii) in (ii)
( 4 y 2 − y 2 ) = 6 ± 2 = ± 3 ⇒ 4 y 2 − y 2 = 3 ; 4 y 2 − y 2 = − 3 ⇒ y = − 4 , 1 ; y = − 1 , 4 ⇒ y = ± 4 , ± 1 (\dfrac{4}{y^2}-y^2)=\dfrac{6}{\pm2}=\pm3
\\\Rightarrow \dfrac{4}{y^2}-y^2=3; \dfrac{4}{y^2}-y^2=-3
\\ \Rightarrow y=-4,1;y=-1,4
\\ \Rightarrow y=\pm4,\pm1 ( y 2 4 − y 2 ) = ± 2 6 = ± 3 ⇒ y 2 4 − y 2 = 3 ; y 2 4 − y 2 = − 3 ⇒ y = − 4 , 1 ; y = − 1 , 4 ⇒ y = ± 4 , ± 1
Put this in (iii),
x = ± 1 2 , ± 2 x=\pm\dfrac{1}{2},\pm2 x = ± 2 1 , ± 2
Thus, solution is z = ± 1 2 ± 4 i ; z = ± 2 ± 1 i z=\pm\dfrac12\pm4i;z=\pm2\pm1i z = ± 2 1 ± 4 i ; z = ± 2 ± 1 i
(b):
z 2 + z − 2 = i z^ 2 + z −2 = i z 2 + z − 2 = i
Put z = x + i y z=x+iy z = x + i y
⇒ ( x + i y ) 2 + ( x + i y ) − 2 = i ⇒ x 2 − y 2 + 2 i x y + x + i y − 2 = i ⇒ ( x 2 − y 2 + x − 2 ) + i ( 2 x y ) = 0 + i \Rightarrow (x+iy)^ 2 + (x+iy) −2 = i
\\ \Rightarrow x^2-y^2+2ixy+x+iy-2=i
\\ \Rightarrow (x^2-y^2+x-2)+i(2xy)=0+i ⇒ ( x + i y ) 2 + ( x + i y ) − 2 = i ⇒ x 2 − y 2 + 2 i x y + x + i y − 2 = i ⇒ ( x 2 − y 2 + x − 2 ) + i ( 2 x y ) = 0 + i
On comparing,
x 2 − y 2 + x − 2 = 0 ; 2 x y = 1 ⇒ x 2 − y 2 + x − 2 = 0 . . . ( i ) ; y = 1 2 x . . . ( i i ) x^2-y^2+x-2=0;\ 2xy=1
\\\Rightarrow x^2-y^2+x-2=0\ ...(i);\ y=\dfrac{1}{2x} \ ...(ii) x 2 − y 2 + x − 2 = 0 ; 2 x y = 1 ⇒ x 2 − y 2 + x − 2 = 0 ... ( i ) ; y = 2 x 1 ... ( ii )
Put (ii) in (i),
⇒ x 2 − ( 1 2 x ) 2 + x − 2 = 0 ⇒ 4 x 4 − 1 + 4 x 3 − 8 x 2 = 0 ⇒ 4 x 4 + 4 x 3 − 8 x 2 − 1 = 0 ⇒ x ≈ 1.07 , x ≈ − 2.02 \\ \Rightarrow x^2-(\dfrac{1}{2x})^2+x-2=0
\\ \Rightarrow 4x^4-1+4x^3-8x^2=0
\\ \Rightarrow 4x^4+4x^3-8x^2-1=0
\\ \Rightarrow x\approx \:1.07 ,\:x\approx \:-2.02 ⇒ x 2 − ( 2 x 1 ) 2 + x − 2 = 0 ⇒ 4 x 4 − 1 + 4 x 3 − 8 x 2 = 0 ⇒ 4 x 4 + 4 x 3 − 8 x 2 − 1 = 0 ⇒ x ≈ 1.07 , x ≈ − 2.02
Put these in (ii)
y = 0.47 , y = − 0.25 y=0.47,y=-0.25 y = 0.47 , y = − 0.25
Thus, solutions are z = 1.07 + 0.47 i ; z = − 2.02 − 0.25 i z=1.07+0.47i;\ z=-2.02-0.25i z = 1.07 + 0.47 i ; z = − 2.02 − 0.25 i
(c):
z 6 = ( 1 + z ) 6 ⇒ ( z 1 + z ) 6 = 1 ⇒ z 1 + z = 1 ⇒ z 1 + z = e i k π / 3 z ^6 = (1 + z)^ 6
\\\Rightarrow (\dfrac{z}{1+z})^6=1
\\\Rightarrow \dfrac{z}{1+z}=1
\\\Rightarrow \dfrac{z}{1+z}=e^{ik\pi/3} z 6 = ( 1 + z ) 6 ⇒ ( 1 + z z ) 6 = 1 ⇒ 1 + z z = 1 ⇒ 1 + z z = e ikπ /3 k = 1 , 2 , . . , 6 k=1,2,..,6 k = 1 , 2 , .. , 6
⇒ z = e i k π / 3 1 − e i k π / 3 \\\Rightarrow z=\dfrac{e^{ik\pi/3}}{1-e^{ik\pi/3}} ⇒ z = 1 − e ikπ /3 e ikπ /3
Simplify this using trigonometric form and double angle identites to get:
z = − 1 2 + i cot ( k π 6 ) z=-\dfrac12+i\cot(\dfrac{k\pi}{6}) z = − 2 1 + i cot ( 6 kπ )
Putting k = 1 , 2 , . . . , 6 k=1,2,...,6 k = 1 , 2 , ... , 6
z = − 1 2 + i cot ( π 6 ) ; − 1 2 + i cot ( π 3 ) ; − 1 2 + i cot ( π 2 ) ; − 1 2 + i cot ( 2 π 3 ) ; − 1 2 + i cot ( 5 π 6 ) ; − 1 2 + i cot ( π ) z=-\dfrac12+i\cot(\dfrac{\pi}{6});-\dfrac12+i\cot(\dfrac{\pi}{3});-\dfrac12+i\cot(\dfrac{\pi}{2})
\\;-\dfrac12+i\cot(\dfrac{2\pi}{3});-\dfrac12+i\cot(\dfrac{5\pi}{6});-\dfrac12+i\cot(\pi) z = − 2 1 + i cot ( 6 π ) ; − 2 1 + i cot ( 3 π ) ; − 2 1 + i cot ( 2 π ) ; − 2 1 + i cot ( 3 2 π ) ; − 2 1 + i cot ( 6 5 π ) ; − 2 1 + i cot ( π )
z = − 1 2 + i 3 ; − 1 2 + i ( 1 3 ) ; − 1 2 + i ( 0 ) ; − 1 2 + i ( − 1 3 ) ; − 1 2 + i ( − 3 ) ; − 1 2 + i ( ∞ ) z=-\dfrac12+i\sqrt3;-\dfrac12+i(\dfrac{1}{\sqrt3});-\dfrac12+i(0)
\\;-\dfrac12+i(-\dfrac{1}{\sqrt3});-\dfrac12+i(-\sqrt3);-\dfrac12+i(\infty) z = − 2 1 + i 3 ; − 2 1 + i ( 3 1 ) ; − 2 1 + i ( 0 ) ; − 2 1 + i ( − 3 1 ) ; − 2 1 + i ( − 3 ) ; − 2 1 + i ( ∞ )
Thus, solutions are:
z = − 1 2 + i 3 ; − 1 2 + i ( 1 3 ) ; − 1 2 ; − 1 2 − i ( 1 3 ) ; − 1 2 − i ( 3 ) ; not defined z=-\dfrac12+i\sqrt3;-\dfrac12+i(\dfrac{1}{\sqrt3});-\dfrac12
\\;-\dfrac12-i(\dfrac{1}{\sqrt3});-\dfrac12-i(\sqrt3);\text{not defined} z = − 2 1 + i 3 ; − 2 1 + i ( 3 1 ) ; − 2 1 ; − 2 1 − i ( 3 1 ) ; − 2 1 − i ( 3 ) ; not defined
#339914 on Dec 2023
Comments