Question

U= (x^2+y^2+z^2)^m/2 find value of m Uxx+Uyy+Uzz=0

Answer 1

$U= (x^2+y^2+z^2)^{m/2}$

$U_{x}=mx (x^2+y^2+z^2)^{m/2-1}$

$U_{xx}=2m(m/2-1)x^2 (x^2+y^2+z^2)^{m/2-2}+m (x^2+y^2+z^2)^{m/2-1}=$

$=m (x^2+y^2+z^2)^{m/2-1}(2x^2(m/2-1) (x^2+y^2+z^2)^{-1}+1)$

$U_{}=my (x^2+y^2+z^2)^{m/2-1}$

$U_{yy}=2m(m/2-1)y^2 (x^2+y^2+z^2)^{m/2-2}+m (x^2+y^2+z^2)^{m/2-1}=$

$=m (x^2+y^2+z^2)^{m/2-1}(2y^2(m/2-1) (x^2+y^2+z^2)^{-1}+1)$

$U_{z}=mz (x^2+y^2+z^2)^{m/2-1}$

$U_{zz}=2m(m/2-1)z^2 (x^2+y^2+z^2)^{m/2-2}+m (x^2+y^2+z^2)^{m/2-1}=$

$=m (x^2+y^2+z^2)^{m/2-1}(2z^2(m/2-1) (x^2+y^2+z^2)^{-1}+1)$

Uxx+Uyy+Uzz = $=m (x^2+y^2+z^2)^{m/2-1}(2(x^2+y^2+z^2)(m/2-1) (x^2+y^2+z^2)^{-1}+3)=0$

$m_1=0$

$2(x^2+y^2+z^2)(m/2-1) (x^2+y^2+z^2)^{-1}+3=0$

$m/2-1=-3/2$

$m_2=2(1-3/2)=-1$