∂ f ∂ x = ( 2 x − 4 x ( x 2 + 5 y 2 ) ) e 1 − 2 x 2 − 2 y 2 \dfrac{\partial f}{\partial x}=(2x-4x(x^2+5y^2))e^{1-2x^2-2y^2} ∂ x ∂ f = ( 2 x − 4 x ( x 2 + 5 y 2 )) e 1 − 2 x 2 − 2 y 2
= ( 2 x − 4 x 3 − 20 x y 2 ) e 1 − 2 x 2 − 2 y 2 =(2x-4x^3-20xy^2)e^{1-2x^2-2y^2} = ( 2 x − 4 x 3 − 20 x y 2 ) e 1 − 2 x 2 − 2 y 2
∂ f ∂ y = ( 10 y − 4 y ( x 2 + 5 y 2 ) ) e 1 − 2 x 2 − 2 y 2 \dfrac{\partial f}{\partial y}=(10y-4y(x^2+5y^2))e^{1-2x^2-2y^2} ∂ y ∂ f = ( 10 y − 4 y ( x 2 + 5 y 2 )) e 1 − 2 x 2 − 2 y 2
= ( 10 y − 4 x 2 y − 20 y 3 ) e 1 − 2 x 2 − 2 y 2 =(10y-4x^2y-20y^3)e^{1-2x^2-2y^2} = ( 10 y − 4 x 2 y − 20 y 3 ) e 1 − 2 x 2 − 2 y 2 Find the critical point(s)
{ ∂ f ∂ x = 0 ∂ f ∂ y = 0 \begin{cases}
\dfrac{\partial f}{\partial x}=0 \\ \\
\dfrac{\partial f}{\partial y}=0
\end{cases} ⎩ ⎨ ⎧ ∂ x ∂ f = 0 ∂ y ∂ f = 0
= > { ( 2 x − 4 x ( x 2 + 5 y 2 ) ) e 1 − 2 x 2 − 2 y 2 = 0 ( 10 y − 4 y ( x 2 + 5 y 2 ) ) e 1 − 2 x 2 − 2 y 2 = 0 =>\begin{cases}
(2x-4x(x^2+5y^2))e^{1-2x^2-2y^2}=0 \\ \\
(10y-4y(x^2+5y^2))e^{1-2x^2-2y^2}=0
\end{cases} => ⎩ ⎨ ⎧ ( 2 x − 4 x ( x 2 + 5 y 2 )) e 1 − 2 x 2 − 2 y 2 = 0 ( 10 y − 4 y ( x 2 + 5 y 2 )) e 1 − 2 x 2 − 2 y 2 = 0
= > { 2 x ( 1 − 2 ( x 2 + 5 y 2 ) ) = 0 2 y ( 5 − 2 ( x 2 + 5 y 2 ) ) = 0 =>\begin{cases}
2x(1-2(x^2+5y^2))=0 \\ \\
2y(5-2(x^2+5y^2))=0
\end{cases} => ⎩ ⎨ ⎧ 2 x ( 1 − 2 ( x 2 + 5 y 2 )) = 0 2 y ( 5 − 2 ( x 2 + 5 y 2 )) = 0
{ x = 0 5 y ( 1 − 2 y 2 ) = 0 \begin{cases}
x=0 \\ \\
5y(1-2y^2)=0
\end{cases} ⎩ ⎨ ⎧ x = 0 5 y ( 1 − 2 y 2 ) = 0
( 0 , 0 ) , ( 0 , − 2 2 ) , ( 0 , 2 2 ) (0, 0), (0, -\dfrac{\sqrt{2}}{2}), (0, \dfrac{\sqrt{2}}{2}) ( 0 , 0 ) , ( 0 , − 2 2 ) , ( 0 , 2 2 )
{ y = 0 x ( 1 − 2 x 2 ) = 0 \begin{cases}
y=0 \\ \\
x(1-2x^2)=0
\end{cases} ⎩ ⎨ ⎧ y = 0 x ( 1 − 2 x 2 ) = 0
( 0 , 0 ) , ( − 2 2 , 0 ) , ( 2 2 , 0 ) (0, 0), ( -\dfrac{\sqrt{2}}{2},0), (\dfrac{\sqrt{2}}{2},0) ( 0 , 0 ) , ( − 2 2 , 0 ) , ( 2 2 , 0 )
x y ≠ 0 xy\not=0 x y = 0
{ 1 − 2 ( x 2 + 5 y 2 ) = 0 5 − 2 ( x 2 + 5 y 2 ) = 0 = > { 2 ( x 2 + 5 y 2 ) = 1 2 ( x 2 + 5 y 2 ) = 5 \begin{cases}
1-2(x^2+5y^2)=0 \\ \\
5-2(x^2+5y^2)=0
\end{cases}=>\begin{cases}
2(x^2+5y^2)=1 \\ \\
2(x^2+5y^2)=5
\end{cases} ⎩ ⎨ ⎧ 1 − 2 ( x 2 + 5 y 2 ) = 0 5 − 2 ( x 2 + 5 y 2 ) = 0 => ⎩ ⎨ ⎧ 2 ( x 2 + 5 y 2 ) = 1 2 ( x 2 + 5 y 2 ) = 5 This system has no solution.
Critical points:
( − 2 2 , 0 ) , ( 0 , − 2 2 ) , ( 0 , 0 ) , ( 0 , 2 2 ) , ( 2 2 , 0 ) \big( -\dfrac{\sqrt{2}}{2},0\big),\big( 0,-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\big), \big(0, 0\big), \big(0,\dfrac{\sqrt{2}}{2}\big),\big(\dfrac{\sqrt{2}}{2},0\big) ( − 2 2 , 0 ) , ( 0 , − 2 2 ) , ( 0 , 0 ) , ( 0 , 2 2 ) , ( 2 2 , 0 )
∂ 2 f ∂ x 2 = ( 2 − 12 x 2 − 20 y 2 ) e 1 − 2 x 2 − 2 y 2 \dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2}=(2-12x^2-20y^2)e^{1-2x^2-2y^2} ∂ x 2 ∂ 2 f = ( 2 − 12 x 2 − 20 y 2 ) e 1 − 2 x 2 − 2 y 2
− 4 x ( 2 x − 4 x 3 − 20 x y 2 ) e 1 − 2 x 2 − 2 y 2 -4x(2x-4x^3-20xy^2)e^{1-2x^2-2y^2} − 4 x ( 2 x − 4 x 3 − 20 x y 2 ) e 1 − 2 x 2 − 2 y 2
∂ 2 f ∂ x ∂ y = − 40 x y e 1 − 2 x 2 − 2 y 2 \dfrac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}=-40xye^{1-2x^2-2y^2} ∂ x ∂ y ∂ 2 f = − 40 x y e 1 − 2 x 2 − 2 y 2
− 4 y ( 2 x − 4 x 3 − 20 x y 2 ) e 1 − 2 x 2 − 2 y 2 -4y(2x-4x^3-20xy^2)e^{1-2x^2-2y^2} − 4 y ( 2 x − 4 x 3 − 20 x y 2 ) e 1 − 2 x 2 − 2 y 2
∂ 2 f ∂ y 2 = ( 10 − 4 x 2 − 60 y 2 ) e 1 − 2 x 2 − 2 y 2 \dfrac{\partial^2 f}{\partial y^2}=(10-4x^2-60y^2)e^{1-2x^2-2y^2} ∂ y 2 ∂ 2 f = ( 10 − 4 x 2 − 60 y 2 ) e 1 − 2 x 2 − 2 y 2
− 4 y ( 2 x − 4 x 3 − 20 x y 2 ) e 1 − 2 x 2 − 2 y 2 -4y(2x-4x^3-20xy^2)e^{1-2x^2-2y^2} − 4 y ( 2 x − 4 x 3 − 20 x y 2 ) e 1 − 2 x 2 − 2 y 2 ( − 2 2 , 0 ) \big( -\dfrac{\sqrt{2}}{2},0\big) ( − 2 2 , 0 )
∂ 2 f ∂ x 2 ∣ ( − 2 / 2 , 0 ) = 2 − 6 − 0 − 4 + 4 = − 4 \dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2}|_{(-\sqrt{2}/2,0)}=2-6-0-4+4=-4 ∂ x 2 ∂ 2 f ∣ ( − 2 /2 , 0 ) = 2 − 6 − 0 − 4 + 4 = − 4
∂ 2 f ∂ x ∂ y ∣ ( − 2 / 2 , 0 ) = 0 \dfrac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}|_{(-\sqrt{2}/2,0)}=0 ∂ x ∂ y ∂ 2 f ∣ ( − 2 /2 , 0 ) = 0
∂ 2 f ∂ y 2 ∣ ( − 2 / 2 , 0 ) = 10 − 2 = 8 \dfrac{\partial^2 f}{\partial y^2}|_{(-\sqrt{2}/2,0)}=10-2=8 ∂ y 2 ∂ 2 f ∣ ( − 2 /2 , 0 ) = 10 − 2 = 8
( 0 , − 2 2 ) \big( 0,-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\big) ( 0 , − 2 2 )
∂ 2 f ∂ x 2 ∣ ( 0 , − 2 / 2 ) = 2 − 0 − 10 − 0 = − 8 \dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2}|_{(0,-\sqrt{2}/2)}=2-0-10-0=-8 ∂ x 2 ∂ 2 f ∣ ( 0 , − 2 /2 ) = 2 − 0 − 10 − 0 = − 8
∂ 2 f ∂ x ∂ y ∣ ( 0 , − 2 / 2 ) = 0 \dfrac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}|_{(0,-\sqrt{2}/2)}=0 ∂ x ∂ y ∂ 2 f ∣ ( 0 , − 2 /2 ) = 0
∂ 2 f ∂ y 2 ∣ ( 0 , − 2 / 2 ) = 10 − 0 − 30 − 0 = − 20 \dfrac{\partial^2 f}{\partial y^2}|_{(0,-\sqrt{2}/2)}=10-0-30-0=-20 ∂ y 2 ∂ 2 f ∣ ( 0 , − 2 /2 ) = 10 − 0 − 30 − 0 = − 20
( 0 , 0 ) \big( 0,0\big) ( 0 , 0 )
∂ 2 f ∂ x 2 ∣ ( 0 , 0 ) = 2 e \dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2}|_{(0,0)}=2e ∂ x 2 ∂ 2 f ∣ ( 0 , 0 ) = 2 e
∂ 2 f ∂ x ∂ y ∣ ( 0 , 0 ) = 0 \dfrac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}|_{(0,0)}=0 ∂ x ∂ y ∂ 2 f ∣ ( 0 , 0 ) = 0
∂ 2 f ∂ y 2 ∣ ( 0 , 0 ) = 10 e \dfrac{\partial^2 f}{\partial y^2}|_{(0,0)}=10e ∂ y 2 ∂ 2 f ∣ ( 0 , 0 ) = 10 e
( 0 , 2 2 ) \big(0,\dfrac{\sqrt{2}}{2}\big) ( 0 , 2 2 )
∂ 2 f ∂ x 2 ∣ ( 0 , 2 / 2 ) = 2 − 0 − 10 − 0 = − 8 \dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2}|_{(0,\sqrt{2}/2)}=2-0-10-0=-8 ∂ x 2 ∂ 2 f ∣ ( 0 , 2 /2 ) = 2 − 0 − 10 − 0 = − 8
∂ 2 f ∂ x ∂ y ∣ ( 0 , 2 / 2 ) = 0 \dfrac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}|_{(0,\sqrt{2}/2)}=0 ∂ x ∂ y ∂ 2 f ∣ ( 0 , 2 /2 ) = 0
∂ 2 f ∂ y 2 ∣ ( 0 , 2 / 2 ) = 10 − 0 − 30 − 0 = − 20 \dfrac{\partial^2 f}{\partial y^2}|_{(0,\sqrt{2}/2)}=10-0-30-0=-20 ∂ y 2 ∂ 2 f ∣ ( 0 , 2 /2 ) = 10 − 0 − 30 − 0 = − 20
( 2 2 , 0 ) \big( \dfrac{\sqrt{2}}{2},0\big) ( 2 2 , 0 )
∂ 2 f ∂ x 2 ∣ ( 2 / 2 , 0 ) = 2 − 6 − 0 − 4 + 4 = − 4 \dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2}|_{(\sqrt{2}/2,0)}=2-6-0-4+4=-4 ∂ x 2 ∂ 2 f ∣ ( 2 /2 , 0 ) = 2 − 6 − 0 − 4 + 4 = − 4
∂ 2 f ∂ x ∂ y ∣ ( 2 / 2 , 0 ) = 0 \dfrac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}|_{(\sqrt{2}/2,0)}=0 ∂ x ∂ y ∂ 2 f ∣ ( 2 /2 , 0 ) = 0
∂ 2 f ∂ y 2 ∣ ( 2 / 2 , 0 ) = 10 − 2 = 8 \dfrac{\partial^2 f}{\partial y^2}|_{(\sqrt{2}/2,0)}=10-2=8 ∂ y 2 ∂ 2 f ∣ ( 2 /2 , 0 ) = 10 − 2 = 8
a)
( − 2 2 , 0 ) \big( -\dfrac{\sqrt{2}}{2},0\big) ( − 2 2 , 0 )
D = ∣ − 4 0 0 8 ∣ = − 32 < 0 D=\begin{vmatrix}
-4 & 0 \\
0 & 8
\end{vmatrix}=-32<0 D = ∣ ∣ − 4 0 0 8 ∣ ∣ = − 32 < 0 Point ( − 2 2 , 0 ) \big( -\dfrac{\sqrt{2}}{2},0\big) ( − 2 2 , 0 )
( 2 2 , 0 ) \big( \dfrac{\sqrt{2}}{2},0\big) ( 2 2 , 0 )
D = ∣ − 4 0 0 8 ∣ = − 32 < 0 D=\begin{vmatrix}
-4 & 0 \\
0 & 8
\end{vmatrix}=-32<0 D = ∣ ∣ − 4 0 0 8 ∣ ∣ = − 32 < 0 Point ( 2 2 , 0 ) \big( \dfrac{\sqrt{2}}{2},0\big) ( 2 2 , 0 )
b)
( 0 , − 2 2 ) \big( 0,-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\big) ( 0 , − 2 2 )
D = ∣ − 8 0 0 − 20 ∣ = 160 > 0 D=\begin{vmatrix}
-8 & 0 \\
0 & -20
\end{vmatrix}=160>0 D = ∣ ∣ − 8 0 0 − 20 ∣ ∣ = 160 > 0 ∂ 2 f ∂ x 2 ∣ ( 0 , − 2 / 2 ) = − 8 < 0 \dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2}|_{(0,-\sqrt{2}/2)}=-8<0 ∂ x 2 ∂ 2 f ∣ ( 0 , − 2 /2 ) = − 8 < 0
Point ( 0 , − 2 2 ) \big(0, -\dfrac{\sqrt{2}}{2}\big) ( 0 , − 2 2 )
( 0 , 2 2 ) \big( 0,\dfrac{\sqrt{2}}{2}\big) ( 0 , 2 2 )
D = ∣ − 8 0 0 − 20 ∣ = 160 > 0 D=\begin{vmatrix}
-8 & 0 \\
0 & -20
\end{vmatrix}=160>0 D = ∣ ∣ − 8 0 0 − 20 ∣ ∣ = 160 > 0 ∂ 2 f ∂ x 2 ∣ ( 0 , 2 / 2 ) = − 8 < 0 \dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2}|_{(0,\sqrt{2}/2)}=-8<0 ∂ x 2 ∂ 2 f ∣ ( 0 , 2 /2 ) = − 8 < 0
Point ( 0 , − 2 2 ) \big(0, -\dfrac{\sqrt{2}}{2}\big) ( 0 , − 2 2 )
c)
( 0 , 0 ) \big( 0,0\big) ( 0 , 0 )
D = ∣ 2 e 0 0 10 e ∣ = 20 e 2 > 0 D=\begin{vmatrix}
2e & 0 \\
0 & 10e
\end{vmatrix}=20e^2>0 D = ∣ ∣ 2 e 0 0 10 e ∣ ∣ = 20 e 2 > 0 ∂ 2 f ∂ x 2 ∣ ( 0 , 0 ) = 2 e > 0 \dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2}|_{(0,0)}=2e>0 ∂ x 2 ∂ 2 f ∣ ( 0 , 0 ) = 2 e > 0
Point ( 0 , 0 ) \big(0, 0\big) ( 0 , 0 )
#339914 on Dec 2023
Comments