Question

Find a power series representation of
$\frac{4\sqrt[4]{x^3}}{3x^2+6x-2}$ centered at -2

Accepted Answer

f mathrm{(}x mathrm{)}= frac{ mathrm{4}x^{ frac{ mathrm{3}}{ mathrm{4}}}}{ mathrm{3}x^{ mathrm{2}}+ mathrm{6}x- mathrm{2}}     ,     about   po mathrm{int}   x_0=- mathrm{2}    n    nf left(- mathrm{2} right)=- mathrm{2}{ left(- mathrm{2} right)}^{ mathrm{3 /4}}    n    nf left(x right)= frac{ mathrm{3} left( mathrm{2}+ mathrm{2}x+ mathrm{5}x^{ mathrm{2}} right)}{x^{ mathrm{1 /4}}{ left(- mathrm{2}+ mathrm{6}x+ mathrm{3}x^{ mathrm{2}} right)}^{ mathrm{2}}}    n    nf left(- mathrm{2} right)= frac{ mathrm{27}{ left(- mathrm{1} right)}^{ mathrm{3 /4}}}{ mathrm{2}{ mathrm{2}}^{ mathrm{1 /4}}}    n    n    nf left(x right)= frac{ mathrm{3} left(- mathrm{4}+ mathrm{120}x+ mathrm{232}x^{ mathrm{2}}+ mathrm{108}x^{ mathrm{3}}+ mathrm{135}x^{ mathrm{4}} right)}{ mathrm{4}x^{ mathrm{5 /4}}{ left(- mathrm{2}+ mathrm{6}x+ mathrm{3}x^{ mathrm{2}} right)}^{ mathrm{3}}}    n    nf left(- mathrm{2} right)=- frac{ mathrm{1485}{ left(- mathrm{1} right)}^{ mathrm{3 /4}}}{ mathrm{16}{ mathrm{2}}^{ mathrm{1 /4}}}    n    n    nf left(x right)=- frac{ mathrm{3} left( mathrm{40}- mathrm{648}x+ mathrm{10404}x^{ mathrm{2}}+ mathrm{23040}x^{ mathrm{3}}+ mathrm{20826}x^{ mathrm{4}}+ mathrm{6318}x^{ mathrm{5}}+ mathrm{5265}x^{ mathrm{6}} right)}{ mathrm{16}x^{ mathrm{9 /4}}{ left(- mathrm{2}+ mathrm{6}x+ mathrm{3}x^{ mathrm{2}} right)}^{ mathrm{4}}}    n    nf left(- mathrm{2} right)  =   frac{ mathrm{122487(}- mathrm{1}{ mathrm{)}}^{ mathrm{(3 /4)}}}{ mathrm{128}{ mathrm{2}}^{ mathrm{(1 /4)}}}    n    nTherefore,        nf left(x right)=  f left(- mathrm{2} right){}{}   +      left(x+ mathrm{2} right)f mathrm{} left(- mathrm{2} right)     +    frac{{ left(x+ mathrm{2} right)}^{ mathrm{2}}}{ mathrm{2!}}f mathrm{} left(- mathrm{2} right)   +   frac{{ left(x+ mathrm{2} right)}^{ mathrm{3}}}{ mathrm{3!}}f mathrm{} left(- mathrm{2} right)   +   ......    n    nf left(x right)=  - mathrm{2}{ left(- mathrm{2} right)}^{ mathrm{3 /4}}+      left(x+ mathrm{2} right) frac{ mathrm{27}{ left(- mathrm{1} right)}^{ mathrm{3 /4}}}{ mathrm{2}{ mathrm{2}}^{ mathrm{1 /4}}}     -    frac{{ left(x+ mathrm{2} right)}^{ mathrm{2}}}{ mathrm{2!}} frac{ mathrm{1485}{ left(- mathrm{1} right)}^{ mathrm{3 /4}}}{ mathrm{16}{ mathrm{2}}^{ mathrm{1 /4}}}  +   frac{{ left(x+ mathrm{2} right)}^{ mathrm{3}}}{ mathrm{3!}}   frac{ mathrm{122487(}- mathrm{1}{ mathrm{)}}^{ mathrm{(3 /4)}}}{ mathrm{128}{ mathrm{2}}^{ mathrm{(1 /4)}}}   +   ......    n

Question #258503

Expert's answer

Answer in progress...