Let x = 2 cos φ x=2\cos\varphi x = 2 cos φ y = 2 sin φ y=2\sin\varphi y = 2 sin φ s = { ( φ , z ) ∣ 0 ≤ φ ≤ 2 π , 0 ≤ z ≤ 3 } s=\{(\varphi,z)|0\le\varphi\le 2\pi, 0\le z\le 3\} s = {( φ , z ) ∣0 ≤ φ ≤ 2 π , 0 ≤ z ≤ 3 }
( x φ ′ , y φ ′ , z φ ′ ) = ( − 2 s i n φ , 2 cos φ , 0 ) (x'_{\varphi},y'_{\varphi},z'_{\varphi})=(-2sin\varphi,2\cos\varphi,0) ( x φ ′ , y φ ′ , z φ ′ ) = ( − 2 s in φ , 2 cos φ , 0 ) ( x z ′ , y z ′ , z z ′ ) = ( 0 , 0 , 1 ) (x'_z,y'_z,z'_z)=(0,0,1) ( x z ′ , y z ′ , z z ′ ) = ( 0 , 0 , 1 )
We have that normal to the cylinder is N ⃗ = ( x φ ′ , y φ ′ , z φ ′ ) × ( x z ′ , y z ′ , z z ′ ) = \vec{N}=(x'_{\varphi},y'_{\varphi},z'_{\varphi})\times(x'_z,y'_z,z'_z)= N = ( x φ ′ , y φ ′ , z φ ′ ) × ( x z ′ , y z ′ , z z ′ ) =
= ( − 2 s i n φ , 2 cos φ , 0 ) × ( 0 , 0 , 1 ) = ( 2 cos φ , 2 sin φ , 0 ) =(-2sin\varphi,2\cos\varphi,0)\times(0,0,1)=(2\cos\varphi,2\sin\varphi,0) = ( − 2 s in φ , 2 cos φ , 0 ) × ( 0 , 0 , 1 ) = ( 2 cos φ , 2 sin φ , 0 )
So ∬ s a ⃗ d s ⃗ = ∬ s ( a ⃗ , N ⃗ ) d φ d z = ∫ 0 3 ∫ 0 2 π ( a ⃗ , N ⃗ ) d φ d z \iint\limits_s \vec{a}d\vec{s}=\iint\limits_s (\vec{a},\vec{N})d\varphi dz=\int\limits_0^3\int\limits_0^{2\pi}(\vec{a},\vec{N})d\varphi dz s ∬ a d s = s ∬ ( a , N ) d φ d z = 0 ∫ 3 0 ∫ 2 π ( a , N ) d φ d z
We have a ⃗ = ( 4 x , − 2 y 2 , z 2 ) = ( 8 cos φ , − 8 sin 2 φ , z 2 ) \vec{a}=(4x,-2y^2,z^2)=(8\cos\varphi,-8\sin^2\varphi,z^2) a = ( 4 x , − 2 y 2 , z 2 ) = ( 8 cos φ , − 8 sin 2 φ , z 2 ) ( a ⃗ , N ⃗ ) = ( ( 8 cos φ , − 8 sin 2 φ , z 2 ) , ( 2 cos φ , 2 sin φ , 0 ) ) = (\vec{a},\vec{N})=((8\cos\varphi,-8\sin^2\varphi,z^2),(2\cos\varphi,2\sin\varphi,0))= ( a , N ) = (( 8 cos φ , − 8 sin 2 φ , z 2 ) , ( 2 cos φ , 2 sin φ , 0 )) =
= 16 cos 2 φ − 16 sin 3 φ =16\cos^2\varphi-16\sin^3\varphi = 16 cos 2 φ − 16 sin 3 φ
Since cos 2 φ = 1 + cos 2 φ 2 \cos^2\varphi=\frac{1+\cos 2\varphi}{2} cos 2 φ = 2 1 + c o s 2 φ sin 3 φ = 3 sin φ − sin 3 φ 4 \sin^3\varphi=\frac{3\sin\varphi-\sin 3\varphi}{4} sin 3 φ = 4 3 s i n φ − s i n 3 φ ( a ⃗ , N ⃗ ) = 8 + 8 cos 2 φ − 12 sin φ + 4 sin 3 φ (\vec{a},\vec{N})=8+8\cos 2\varphi-12\sin\varphi+4\sin 3\varphi ( a , N ) = 8 + 8 cos 2 φ − 12 sin φ + 4 sin 3 φ
Then ∬ s a ⃗ d s ⃗ = ∫ 0 3 ∫ 0 2 π ( a ⃗ , N ⃗ ) d φ d z = \iint\limits_s \vec{a}d\vec{s}=\int\limits_0^3\int\limits_0^{2\pi}(\vec{a},\vec{N})d\varphi dz= s ∬ a d s = 0 ∫ 3 0 ∫ 2 π ( a , N ) d φ d z =
∫ 0 3 ∫ 0 2 π ( 8 + 8 cos 2 φ − 12 sin φ + 4 sin 3 φ ) d φ d z = \int\limits_0^3\int\limits_0^{2\pi}(8+8\cos 2\varphi-12\sin\varphi+4\sin 3\varphi)d\varphi dz= 0 ∫ 3 0 ∫ 2 π ( 8 + 8 cos 2 φ − 12 sin φ + 4 sin 3 φ ) d φ d z =
= ∫ 0 3 16 π d z = 48 π =\int\limits_0^316\pi dz=48\pi = 0 ∫ 3 16 π d z = 48 π
#340153 on Dec 2023
Comments