We first calculate the integral
∫ 0 2 e x y z d z = = { e x y z x y ∣ 0 2 , f o r x y ≠ 0 z ∣ 0 2 , o t h e r w i s e = { e 2 x y x y − 1 x y , f o r x y ≠ 0 2 , o t h e r w i s e . \int\limits_{0}^{2}e^{xyz} dz=\\
=\left\{\begin{matrix}
\frac{e^{xyz}}{xy}|_0^2, for xy\neq 0 \\
z|_0^2, otherwise
\end{matrix}\right.=\\
\left\{\begin{matrix}
\frac{e^{2xy}}{xy}-\frac{1}{xy}, for xy\neq 0 \\
2, otherwise
\end{matrix}\right. .\\ 0 ∫ 2 e x yz d z = = { x y e x yz ∣ 0 2 , f or x y = 0 z ∣ 0 2 , o t h er w i se = { x y e 2 x y − x y 1 , f or x y = 0 2 , o t h er w i se .
Then find
∫ 0 2 { e 2 x y x y − 1 x y , f o r x y ≠ 0 2 , o t h e r w i s e d y = = { ∫ 0 2 e 2 x y − 1 x y d y , f o r x y ≠ 0 ∫ 0 2 2 d y , o t h e r w i s e = = { ∫ 0 2 e 2 x y − 1 x y d y , f o r x y ≠ 0 2 y ∣ 0 2 , o t h e r w i s e = = { ∫ 0 2 e 2 x y − 1 x y d y , f o r x y ≠ 0 4 , o t h e r w i s e . \int\limits_{0}^{2}
\left\{\begin{matrix}
\frac{e^{2xy}}{xy}-\frac{1}{xy}, for xy\neq 0 \\
2, otherwise
\end{matrix}\right. dy=\\
=\left\{\begin{matrix}
\int\limits_{0}^{2}\frac{e^{2xy}-1}{xy}dy, for xy\neq 0 \\
\int\limits_{0}^{2} 2dy, otherwise
\end{matrix}\right. =\\
=\left\{\begin{matrix}
\int\limits_{0}^{2}\frac{e^{2xy}-1}{xy}dy, for xy\neq 0 \\
2y|^2_0, otherwise
\end{matrix}\right. =\\
=\left\{\begin{matrix}
\int\limits_{0}^{2}\frac{e^{2xy}-1}{xy}dy, for xy\neq 0 \\
4, otherwise
\end{matrix}\right. . 0 ∫ 2 { x y e 2 x y − x y 1 , f or x y = 0 2 , o t h er w i se d y = = ⎩ ⎨ ⎧ 0 ∫ 2 x y e 2 x y − 1 d y , f or x y = 0 0 ∫ 2 2 d y , o t h er w i se = = ⎩ ⎨ ⎧ 0 ∫ 2 x y e 2 x y − 1 d y , f or x y = 0 2 y ∣ 0 2 , o t h er w i se = = ⎩ ⎨ ⎧ 0 ∫ 2 x y e 2 x y − 1 d y , f or x y = 0 4 , o t h er w i se .
Then find
∫ 0 2 { ∫ 0 2 e 2 x y − 1 x y d y , f o r x y ≠ 0 4 , o t h e r w i s e d x = = { ∫ 0 2 ∫ 0 2 e 2 x y − 1 x y d x d y , f o r x y ≠ 0 ∫ 0 2 4 d x , o t h e r w i s e = = { ∫ 0 2 ∫ 0 2 e 2 x y − 1 x y d x d y , f o r x y ≠ 0 4 x ∣ 0 2 , o t h e r w i s e = = { ∫ 0 2 ∫ 0 2 e 2 x y − 1 x y d x d y , f o r x y ≠ 0 8 , o t h e r w i s e . \int\limits_{0}^{2}\left\{\begin{matrix}
\int\limits_{0}^{2}\frac{e^{2xy}-1}{xy}dy, for xy\neq 0 \\
4, otherwise
\end{matrix}\right. dx=\\
=\left\{\begin{matrix}
\int\limits_{0}^{2} \int\limits_{0}^{2}\frac{e^{2xy}-1}{xy}dxdy, for xy\neq 0 \\
\int\limits_{0}^{2} 4 dx, otherwise
\end{matrix}\right. =\\
=\left\{\begin{matrix}
\int\limits_{0}^{2} \int\limits_{0}^{2}\frac{e^{2xy}-1}{xy}dxdy, for xy\neq 0 \\
4 x|_0^2, otherwise
\end{matrix}\right. =\\
=\left\{\begin{matrix}
\int\limits_{0}^{2} \int\limits_{0}^{2}\frac{e^{2xy}-1}{xy}dxdy, for xy\neq 0 \\
8, otherwise
\end{matrix}\right. . 0 ∫ 2 ⎩ ⎨ ⎧ 0 ∫ 2 x y e 2 x y − 1 d y , f or x y = 0 4 , o t h er w i se d x = = ⎩ ⎨ ⎧ 0 ∫ 2 0 ∫ 2 x y e 2 x y − 1 d x d y , f or x y = 0 0 ∫ 2 4 d x , o t h er w i se = = ⎩ ⎨ ⎧ 0 ∫ 2 0 ∫ 2 x y e 2 x y − 1 d x d y , f or x y = 0 4 x ∣ 0 2 , o t h er w i se = = ⎩ ⎨ ⎧ 0 ∫ 2 0 ∫ 2 x y e 2 x y − 1 d x d y , f or x y = 0 8 , o t h er w i se .
Consider the function e 2 x y − 1 x y \frac{e^{2xy}-1}{xy} x y e 2 x y − 1
lim x y ↦ 0 e 2 x y − 1 x y = 2 \lim\limits_{xy\mapsto 0} \frac{e^{2xy}-1}{xy}=2 x y ↦ 0 lim x y e 2 x y − 1 = 2
because
lim t ↦ 0 e t − 1 t = 1 \lim\limits_{t\mapsto 0} \frac{e^{t}-1}{t}=1 t ↦ 0 lim t e t − 1 = 1
This means that the function is integrable and the integral is convergent.
#340153 on Dec 2023
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